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《数字逻辑-张少敏课件第2章 第二章第3节.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节布尔函数的基本形式根据展开定理,任何一个n变量函数总可以展开成与或形式,或者或与形式。其中与或形式又叫“积之和”形式,而或与形式又叫“和之积”形式。所谓“积之和”,是指一个函数表达式中包含若干个“积”项,其中每个“积”项可有一个或多个以原变量或反变量形式出现的字母,这些“积”项的“和”就表示了一个函数。例如,一个三变量函数为F(A,B,C)=A+BC+ABC其中,A、BC、ABC均为“积”项,这些积项的和就表示了函数的“积之和”形式。一、函数的“积之和”与“和之积”表示形式所谓“和之积”,是指一
2、个函数表示式中包含若干个“和”项,其中每个“和”项可有一个或多个以原变量或反变量形式出现的字母,这些“和”项的“积”就表示一个函数。例如,一个四变量函数为F(A,B,C,D)=(A+B)(C+D)(A+B+C)其中,(A+B)、(C+D)、(A+B+C)均为“和”项,这些“和”项的“积”就构成了函数的“和之积”形式。一个函数可以有多种表示形式,那么,能不能找到统一的表示形式呢?有两种统一的标准形式。二、函数和“标准积之和”与“标准和之积”形式1.标准积之和所谓标准积,是指函数的积项包含了函数的全部变量
3、,其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现,且仅出现一次。标准积项通常称为最小项。一个函数可以用最小项之和的形式来表示,称之为函数的“标准积之和”形式。例如,一个三变量函数为F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC它由4个最小项组成,这是函数的“标准积之和”形式。由最小项的定义可知,3个变量最多可组成8个最小项:ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC和ABC。为了叙述和书写方便,通常用mi表示最小项,其下标i是这样确定的:把最小项中原变量记为1,反变量记为0,当变量顺序确定后,
4、可以按顺序排列成一个二进制数。那么,与这个二进制数相对应的十进制数就是最小项的下标i。表2-6列出了3个变量的全部最小项。因此,上述函数F(A,B,C)可以写成F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABCm2+m3+m4+m7=∑m(2,3,4,7)其中,符号“∑”表示各最小项求或,括号内的十进制数字表示各最小项的下标。最小项具有下列3个主要性质:(1)对于任意一个最小项,只有一组变量取值使其值为1;(2)任意两个不同的最小项之积必为0,即mi·mj=0(i≠j);(3)n变量的所有2n个最小项之
5、和必为1,即可通过列出函数的真值表,使函数取值为1的那些最小项,就构成了函数的“标准积之和”形式。例如,函数F(A,B,C)=AB+ABC+BC的真值表列于表2-7。根据真值表,可以很方便地写出函数的表达式为F(A,B,C)=m2+m3+m4+m7=∑m(2,3,4,7)式中,m2、m3、m4和m7是相应于真值表中使函数取值为1的那些最小项。表2-6三变量的所有最小项和最大项表2-7函数的真值表与最小项2.标准和之积所谓标准和是指函数的和项包含了全部变量,其中每个变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出
6、现一次。标准和项通常又称最大项。一个函数可以用最大项之积的形式表示,把这种形式称为函数的“标准和之积”形式。例如,一个三变量函数为F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)它由4个最大项组成,这就是函数的“标准和之积”形式。同样,3个变量最多可组成8个最大项,如表2-6所示。通常,最大项用Mi来表示,其下标i是这样确定的:当最大项的各变量按一定次序排好后,把其中的原变量记为0,反变量记为1,便得到一个二进制数,与该二进制数相应的十进制数就是最大项的下标。这样,上述函数F
7、(A,B,C)可以写成F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=M0M1M5M6=∏M(0,1,5,6)其中,符号“∏”表示各最大项与,括号内的十进制数表示各最大项的下标。最大项具有下列3个主要性质:(1)对于任意一个最大项,只有一组变量取值可使其值为0;(2)任意两个不同的最大项之和必为1,即Mi+Mj=1(i≠j);(3)变量的所有个最大项之积必为0,即同样可列出函数的真值表,那些使函数取值为0的最大项,就构成了函数的“标准和之积”形式。例如,上述函数的真值表列于
8、表2-8,根据真值表,可以很方便地写出表达式为：F(A,B,C)=M0M1M5M6=∏M(0,1,5,6)比较表2-7和表2-8,可以看出两点结论:(1)同一个函数既可以表示成“标准积之和”的形式,又可表示成“标准和之积”的形式。对于本例,有：F(A,B,C)=AB+ABC+BC=∑m(2,3,4,7)=∏M(0,1,5,6)表2-8函数的真值表与最大项(2)同一函数的最大项与最小项是互斥的,即如果真值表中的某一行作为函数的最小项,那么它就不可能是同一函
