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1、圆锥曲线一.向量与圆锥曲线:例1.已知是椭圆上的两点,并且点满足,当时,求直线斜率的取值范围.例2.已知抛物线,过抛物线的焦点的直线交于两点,交准线于点,已知,求.例3.已知椭圆,斜率为1且过右焦点的直线交椭圆于两点,为椭圆上任一点,且,求.方法总结:(1)若能得到,则构造出两根之和与两根之积得消去得,再利用韦达定理应用;(2)若,则可以用的横坐标或纵坐标来表示和,当和满足一定的关系时,进一步用韦达定理作整体代换;(3)直线与圆锥曲线相交于两点,若点满足,用两点的坐标来表示,如果在曲线上,则将的坐标表达式代入曲线方程,如果没有在曲线上,则必须把的坐标表达式
2、构造成曲线方程的形式进行处理.课后练习:1.已知定点,若过点的直线(斜率不为零)与椭圆交于不同的两点(在点之间),记,求实数的取值范围.2.椭圆的两个焦点分别为和,过点的直线与椭圆交于两点,且,求直线的斜率.3.已知抛物线,过点的直线与抛物线交于两点,且直线与x轴交于点,设,试问是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.4.椭圆,过右焦点的直线与交于两点,上是否存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有的坐标与的方程;若不存在,请说明理由.二.面积计算求解圆锥曲线中三角形的面积,关键在于三角形面积公式的选取.例1.如图,是抛物线上一点
3、,是上的两点,线段被直线平分且,求面积的最大值.2.已知直线与椭圆交于两点,已知,若且椭圆的离心率,又椭圆经过点,O为坐标原点.试问的面积是否为定值?如果是,请证明,如果不是,说明理由.2.已知菱形的顶点在椭圆上,对角线所在直线的斜率为1.(1)当直线过点时,求直线的方程;(2)当时,求菱形面积的最大值.4.如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点xOyBl1l2PDA（1）求椭圆的方程；（2）求面积取最大值时直线的方程.三．切线问题1.如图，设椭圆C:动直线与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第
4、一象限.（1）已知直线的斜率为，用表示点P的坐标；（2）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.2.如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.(1)求点A，B的坐标；(2)求的面积.3.已知椭圆的一个焦点为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.4.如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（1）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（2）已知当M点的坐标为
5、（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；（3）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.练习：如图，已知抛物线的焦点为，是抛物线上的两动点，且，过两点分别作抛物线的切线，设其交点为，证明为定值.四、斜率乘积为1.已知椭圆上的两点，则;类似地，对于双曲线，则有____________________.若椭圆或双曲线的焦点在y轴呢，则结果会怎样？2.已知椭圆的左右顶点为，点是上异于的任意一点，则;类似地，对于双曲线，则有__________________
6、__.3.对于上述，若为椭圆或双曲线上关于原点对称的点，会有什么结论呢？4.若椭圆或双曲线的焦点在y轴呢，则结果会怎样？例1.过点的直线交双曲线于两点，，则直线的方程是____________例2.过点作斜率为的直线与椭圆相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率是_________例3.已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有两个不同的点关于这条直线对称.例4.已知椭圆的方程为，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作x轴的垂线，垂足为，连接并延长交椭圆于点，设直线的斜率为，求证：对任意，.例1.是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右顶点，
7、直线的斜率之积为，则双曲线的离心率是_________________例2.如图，已知分别为曲线与轴的左、右两个交点，直线过点，且与轴垂直，为上异于点的一点，连结交曲线于点.点是以为直径的圆与线段的交点，试问：是否存在，使得三点共线？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.例3.已知椭圆，过原点且斜率为的直线交曲线于两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.4.已知椭圆的方程为，是椭圆上的两动点，为平面上一动点且满足，则有如下的框架图（已知任意两个，可以推出第三个）：
8、例1.已知椭圆的方程为，是椭圆上的两动点，为椭圆上一动点且满足且，
