圆锥曲线与向量综合题

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1、圆锥曲线与平面向量考纲透析考试大纲：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的概念，向量的坐标运算.[来源:学科网ZXXK]高考热点：圆锥曲线与平面向量的综合.新题型分类例析[来源:Zxxk.Com]1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）.求k的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为由已知得故双曲线C的方程为（Ⅱ）将由直线l与双曲线交于不同的两点得即①

2、设，则而于是②由①、②得故k的取值范围为2..已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.[来源:Zxxk.Com]（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.所以点M的坐标是（）.由即证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、

3、B的坐标分别是设M的坐标是所以因为点M在椭圆上，所以即[来源:学科网ZXXK]解得（Ⅱ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有

4、PF1

5、=

6、F1F2

7、，即设点F1到l的距离为d，由得所以即当△PF1F2为等腰三角形.解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有

8、PF1

9、=

10、F1F2

11、，设点P的坐标是，则，由

12、PF1

13、=

14、F1F2

15、得两边同时除以4a2，化简得从而于是即当时，

16、△PF1F2为等腰三角形.[来源:Z,xx,k.Com]3.设，为直角坐标平面内轴、轴正方向上的单位向量，若，且.（Ⅰ）求点的轨迹C的方程；[来源:学#科#网]（Ⅱ）若A、B为轨迹C上的两点，满足，其中M（0，），求线段AB的长.[来源:学+科+网][启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数

17、学知识解决问题及推理的能力.满分12分.（1）解：设椭圆方程为则直线AB的方程为，代入，化简得.令A（），B），则由与共线，得又，即，所以，故离心率（II）证明：（1）知，所以椭圆可化为设，由已知得在椭圆上，即①由（1）知[变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，准线l与x轴相交于点A(–1，0)，过点A的直线与抛物线相交于P、Q两点.[来源:学科网]（1）求抛物线的方程；（2）若•=0，求直线PQ的方程；[来源:学科网]（3）设=λ（λ>1），点P关于x轴的对称点为M，证明：=-λ.[来源

18、:Zxxk.Com].6.已知在平面直角坐标系中，向量，且.（I）设的取值范围；（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程.7.已知，点在轴上，点在轴的正半轴，点在直线上，且满足，，.（Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程；（Ⅱ）过的直线与轨迹交于、两点，又过、作轨迹的切线、，当，求直线的方程.8.已知点C为圆的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求

19、点Q的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，且，求△FOH的面积已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线：（）与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．10．如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。(Ⅰ)设点P分有向线段所成的比为λ，证明(Ⅱ)设直线AB的方程是x—2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。10.已知平面上一定点和

20、一定直线Ｐ为该平面上一动点，作垂足为，.(1)问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；(2)点Ｏ是坐标原点，两点在点Ｐ的轨迹上，若求的取值范围．11.如图，已知E、F为平面上的两个定点，，且，·，（G为动点，P是HP和GF的交点）（1）建立适当的平面直角坐标系求出点的轨迹方程；（2）若点的轨迹上存在两个不同的点、，且线段的中垂线与GFPHE（或的延长线）相交于一点，则＜（为的中点）．12．已知动圆过定点，且与直线相切.(1)求动圆的圆心轨迹的方程；(2)是否存在直线，使