圆锥曲线与平面向量综合.doc

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1、圆锥曲线与平面向量的综合（1）解析几何是研究方程与曲线的一门学科，是用代数的方法研究曲线的性质，而平面向量既具有代数形式又具有几何形式，因此平面向量与解析几何的结合是顺理成章的事情，在解决解析几何问题时，平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征，而且又方便计算，把解析几何与平面向量综合在一起命制考题，可以有效地考查考生的数形结合思想，解析几何的基本思想以及数学联结能力等数学思想和数学能力。在2004年的试卷中,向量与解析几何综合的解答题有：全国卷Ⅰ（文，理），全国卷Ⅱ（理），天津卷（文，理），湖南卷（文，理），江苏卷，辽宁卷等.在2005年的试卷中,向量与解析几何综合的

2、解答题有：全国卷Ⅰ（文，理），全国卷Ⅱ（文，理），天津卷（文，理），福建卷（文，理），重庆卷（文，理），湖南卷（文，理），辽宁卷等.这表明在全国2004年的25套试卷中有9套占，在2005年的29套试卷中,就有13套,占.(一)解析几何与向量综合的题目，可能出现的向量内容：1.给出直线的方向向量或，等于已知直线的斜率或；2.给出与相交,等于已知过的中点;3.给出,等于已知是的中点;4.给出,等于已知与的中点三点共线;5.给出以下情形之一①,②存在实数③若存在实数,等于已知三点共线.6.给出，等于已知是的定比分点，为定比，即7.给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角

3、,给出,等于已知是锐角,8.给出,等于已知是的平分线/9.在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;10.在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;11.在中，给出，等于已知是的外心；12.在中，给出，等于已知是的重心；13.在中，给出，等于已知是的垂心；14.在中，给出等于已知通过的内心；15.在中，给出等于已知是的内心；16.在中，给出,等于已知是中边的中线;17.给出,等于已知的面积(三)综合题举例【例1】(2005年·辽宁卷21)已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（

4、Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以证法二：设点P的坐标为记则由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为由椭圆第二定义得，即由，所以（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是解法二：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当时，由，得.又，所

5、以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为（），则因此①由得②将①代入②，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是③④（Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是由③得，由④得所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.当时，，由，，，得解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是③④由④得上式代入③得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.当时，记，由知，则【例2】(2005年·重庆卷·理21)已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线C2的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆

6、C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则故C2的方程为(Ⅱ)将代入得由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即①.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得解此不等式得③由①、②、③得故k的取值范围为【例3】(2005年·全国卷Ⅰ·理21文22)已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.（I）求椭圆的离心率；（II）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.解：（I）设椭圆方程为则直线AB的方程为化简得.令则共线，得（II）

7、证明：由（I）知，所以椭圆可化为.在椭圆上，即①由（I）知又又，代入①得故为定值，定值为1.