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时间:2020-03-18
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1、数学奥林匹克初中训练题13第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.正整数1,2,…,2008中,能表示为形如(m、n∈N+)的数的个数是().(A)2008(B)2006(C)2007(D)20042.已知a、b、c满足
2、2a-4
3、+
4、b+2
5、++a2+c2=2+2ac.则a-b+c的值为().(A)4(B)6(C)8(D)4或83.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,BC=12,AD⊥BC于点D,∠ABC的平分线分别交C、AD于点E、F.过F作G∥BC交AC于点G.则FG的长为()
6、.(A)10(B)6(C)8(D)94.设m为整数.若关于x的方程mx2+(2-2m)x+m-4=0有整数解,则m的可能值有()个.(A)1(B)2(C)3(D)45.如图,五边形ABCDE中,∠A=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC=1,AE=DE=2.在BC、DE上分别找一点M、N,使得△AMN的周长最小.则△AMN的最小周长为().(A)2(B)2(C)4(D)56.已知2n(n∈N+)能整除20072048-1.则n的最大值是().(A)12(B)13(C)14(D)15二、填空题(每小题
7、7分,共28分)1.已知x为实数,-=54.则28+27=.2.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,∠BAD=∠BCD=60°,∠CBD=55°,∠ADB=50°.则∠AOB的度数为.3.已知n为自然数,9n2-10n+2009能表示为两个连续自然数之积.则n的最大值为.4.如图是一个挂在墙壁上时钟的示意图.O是其秒针的转动中心,M是秒针的另一端,OM=10cm,l是过点O的铅直直线.现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬行,蚂蚁P到点O的距离与M到l的距离始终相等.1分钟的时间内,蚂蚁P被秒针OM携带的过程
8、中移动的路程(非蚂蚁在秒针上爬行的路程)是cm.第二试一、(20分)设k为常数,关于x的方程x2-2x+=3-2k有四个不同的实数根.求k的取值范围.二、(25分)已知O是△ABC的外心,∠BAC=45°,延长BC至D,使CD=BC,AD∥OC.求∠ABC的度数.三、(25分)过年时,祖母给三个孙子压岁钱,总额400元.共有50元、20元、10元三种面额的纸币各若干张,供三个孙子选择,但每人只能拿同一种面额的钱,其中一人所拿钱的张数恰好等于另两人所拿钱的张数之积.问有多少种选择面额及张数的方式?数学奥林
9、匹克初中训练题13参考答案第一试一、1.C.若=1,整理得(m+1)(n-1)=0.解得m=-1或n=1.故当n=1,m>1时,=1.若=2,整理得(m+2)(n-2)=-3=3×(-1).解得m=1,n=1.但m≠n,于是,≠2.所以,2不能表示为形如的数.若=a(a∈Z,a>2),即mn-am+an-1=0.故(m+a)(n-a)=1-a2=(a2-1)×(-1).因此,m+a=a2-1,n-a=-1,即m=a2-a-1,n=a-1.显然,m≠n.当m=a2-a-1,n=a-1时,=a.2.D.当b
10、=0时,原等式化为
11、2a-4
12、+(a-c)2=0.解得a=c=2.所以,a-b+c=4.当b≠0时,b2>0,a≥3.故2a-4≥2.原等式化为2a-4+
13、b+2
14、++(a-c)2=2,即
15、b+2
16、++(a-c)2=6-2a.故6-2a≥0,即a≤3.所以,a=3.则
17、b+2
18、+(3-c)2=0.解得b=-2,c=3.所以,a-b+c=3-(-2)+3=8.3.C.在Rt△ABC中,由射影定理得AB2=BD·BC.所以,BD=4/3.故DC=BC-BD=32/3.由BF是∠ABC的平分线得AF/FD=A
19、B/BD=3.则AF/AD==34.因为FG∥CD,所以,FG/DC=AF/AD.故FG=8.4.B.原方程化为m(x-1)2=4-2x.显然,x≠1.则m(x-1)==-2+.已知m、x均为整数,则为整数.故x-1=±1,±2,即x=2,0,3,-1.相应地,m的值分别为0,4,-12,32.所以,m的值为0或4.5.B.如图,延长AB至P,使PB=AB;延长AE至Q,使EQ=AE.联结PQ分别交BC、DE于点M、N.则△AMN的周长最小,最小周长就是线段PQ的长.过P作PF⊥AE于F.易知∠PAF=
20、60°,PF=AP=,AF=AP=1.又AQ=2AE=4,则在Rt△PQF中,由勾股定理得PQ=2.在△APQ中,由余弦定理得cos∠APQ=2/7.故BM
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