数学奥林匹克初中训练题13.doc

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1、数学奥林匹克初中训练题13第一试一、选择题(每小题7分，共42分)1.正整数1，2，…，2008中，能表示为形如(m、n∈N+)的数的个数是().(A)2008(B)2006(C)2007(D)20042.已知a、b、c满足

2、2a-4

3、+

4、b+2

5、++a2+c2=2+2ac.则a-b+c的值为().(A)4(B)6(C)8(D)4或83.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，BC=12，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交C、AD于点E、F.过F作G∥BC交AC于点G.则FG的长为()

6、.(A)10(B)6(C)8(D)94.设m为整数.若关于x的方程mx2+(2-2m)x+m-4=0有整数解，则m的可能值有()个.(A)1(B)2(C)3(D)45.如图，五边形ABCDE中，∠A=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2.在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小.则△AMN的最小周长为().(A)2(B)2(C)4(D)56.已知2n(n∈N+)能整除20072048-1.则n的最大值是().(A)12(B)13(C)14(D)15二、填空题(每小题

7、7分，共28分)1.已知x为实数，-=54.则28+27=.2.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD=∠BCD=60°，∠CBD=55°，∠ADB=50°.则∠AOB的度数为.3.已知n为自然数，9n2-10n+2009能表示为两个连续自然数之积.则n的最大值为.4.如图是一个挂在墙壁上时钟的示意图.O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，OM=10cm，l是过点O的铅直直线.现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬行，蚂蚁P到点O的距离与M到l的距离始终相等.1分钟的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程

8、中移动的路程(非蚂蚁在秒针上爬行的路程)是cm.第二试一、(20分)设k为常数，关于x的方程x2-2x+=3-2k有四个不同的实数根.求k的取值范围.二、(25分)已知O是△ABC的外心，∠BAC=45°，延长BC至D，使CD=BC，AD∥OC.求∠ABC的度数.三、(25分)过年时，祖母给三个孙子压岁钱，总额400元.共有50元、20元、10元三种面额的纸币各若干张，供三个孙子选择，但每人只能拿同一种面额的钱，其中一人所拿钱的张数恰好等于另两人所拿钱的张数之积.问有多少种选择面额及张数的方式?数学奥林

9、匹克初中训练题13参考答案第一试一、1.C.若=1，整理得(m+1)(n-1)=0.解得m=-1或n=1.故当n=1，m>1时，=1.若=2，整理得(m+2)(n-2)=-3=3×(-1).解得m=1，n=1.但m≠n，于是，≠2.所以，2不能表示为形如的数.若=a(a∈Z，a>2)，即mn-am+an-1=0.故(m+a)(n-a)=1-a2=(a2-1)×(-1).因此，m+a=a2-1，n-a=-1，即m=a2-a-1，n=a-1.显然，m≠n.当m=a2-a-1，n=a-1时，=a.2.D.当b

10、=0时，原等式化为

11、2a-4

12、+(a-c)2=0.解得a=c=2.所以，a-b+c=4.当b≠0时，b2>0，a≥3.故2a-4≥2.原等式化为2a-4+

13、b+2

14、++(a-c)2=2，即

15、b+2

16、++(a-c)2=6-2a.故6-2a≥0，即a≤3.所以，a=3.则

17、b+2

18、+(3-c)2=0.解得b=-2，c=3.所以，a-b+c=3-(-2)+3=8.3.C.在Rt△ABC中，由射影定理得AB2=BD·BC.所以，BD=4/3.故DC=BC-BD=32/3.由BF是∠ABC的平分线得AF/FD=A

19、B/BD=3.则AF/AD==34.因为FG∥CD，所以，FG/DC=AF/AD.故FG=8.4.B.原方程化为m(x-1)2=4-2x.显然，x≠1.则m(x-1)==-2+.已知m、x均为整数，则为整数.故x-1=±1，±2，即x=2，0，3，-1.相应地，m的值分别为0，4，-12，32.所以，m的值为0或4.5.B.如图，延长AB至P，使PB=AB;延长AE至Q，使EQ=AE.联结PQ分别交BC、DE于点M、N.则△AMN的周长最小，最小周长就是线段PQ的长.过P作PF⊥AE于F.易知∠PAF=

20、60°，PF=AP=，AF=AP=1.又AQ=2AE=4，则在Rt△PQF中，由勾股定理得PQ=2.在△APQ中，由余弦定理得cos∠APQ=2/7.故BM