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《【材料课件】附录Ⅰ 截面的几何性质.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、截面的静矩和形心位置附录I截面的几何性质如图I-1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分=[zdA-以丿(1-1)分别定义为该截而对于z轴和夕轴的静矩。A静矩可用来确定截而的形心位置。由静力学屮确定物体重心的公式可得利用公式(1-1),上式可写成zdA(1-2)(1-3)(1-4)如杲一个平血图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一•坐标轴的静矩的代数和。即：Sz=£4x.-//=!AS),=X4zc//=,丿(1-5)式中/八虫和
2、知分别表示某一组成部分的而积和其形心坐标，A7为简单图形的个数。将式(T-5)代入式(1-4),得到组合图形形心坐标的计算公式为z(・E4x,Z4/=1E4zc•/E4/=!(1-6)0.6mAZ例题1-1图a所示为对称T型截而，求该截而的形心位置°建立直角坐标系zOv,其屮v为截面的对称轴。因图形相对于y轴对称，其形心一定在该对称轴上，0.4mycCm>0.2m例题1-1图§1-2Vu因此北=0,只需计算比值。将截面分成I、II两个矩形，则CAi=0.072m2,Jn=0.08mzyi=0.46m
3、,yn=0.2m儿'二出戸+令九£A,A]+久/=10・072x0.46+0・08x0・20.072+0.08=0.323m惯性矩、惯性积和极惯性矩(1-7)图1一2如图1-2所示平血图形代表一任意截血，衣图形平血内建立山角坐标系zQvo现在图形内取微面积（L4,dA的形心在坐标系zOy屮的坐标为v和z,到坐标原点的距离为/儿现定义尸曲和z2dA为微而积dA对z轴和y轴的惯性矩，“沁为微面积站对坐标原点的极惯性矩，而以下三个积分分别定义为该截面对于z轴和y轴的惯性矩以及対坐标原点的极惯性矩。由图（1
4、—2）可见，”=b+z[所以有4=AP2（iA=J3+z，）（14=厶+Iy(1-8)即任意截面对一-点的极惯性矩，筹于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩之和。另外，微面积（L4与它到两轴距离的乘积zydA称为微面积曲对八z轴的惯性积，而积分(1-9)定义为该截面对于八Z轴的惯性积。从上述定义可见，同一截而对于不同坐标轴的惯性矩和惯性积一般是不同的。惯性矩的数值恒为正值，而惯性积则可能为正，可能为负，也可能等于零。惯性矩和惯性积的常用单位是或mm4o§1-3惯性矩・惯性积的平行移轴和转轴
5、公式一、惯性矩、惯性积的平行移轴公式图1-3所示为一•任意截面，z、y为通过截面形心的一对正交轴,Z］xy为与z.y平行的坐标轴，截面形心C在坐标系z}Oyx屮的坐标为(方，Q),已知截面对z、y轴惯性矩和惯性积为厶、人、IyZ，卜面求截面对Z.、.0轴惯性矩和惯性积A.、“、人八z'。L=L+a2A旬厶(1-10)同理可得—y+心(1-11)式(1-10)、(1-11)称为惯性矩的平行移轴公式n卜•面求截面对刃、习轴的惯性积5°根据定义□=[z^dA=I(z+b)(y+a)dJ=JzydA+aJ
6、zcL4+bJydA+ab^dA=I+aSv+bS~+abA由于Z、P轴是截面的形心轴，所以S产Sy=0,即(1-12)V
7、zl式(1-12)称为惯性积的平行移轴公式n=Iv=+abA二、惯性矩、惯性积的转轴公式图(1-4)所示为一任意截面，z、y为过任一点O的一•对正交轴，截面对z、y轴惯性矩厶、厶'和惯性积仏已知。现将z、p轴绕O点旋转g角(以逆吋针方向为正)得到另一对正交轴Z］、口轴，下而求截而对Z］、厂轴惯性矩和惯性积厶、人、人冋-Z
8、v(L4Z1aVi图1-4-+-+Vcos2a-Iv_
9、sin2a(1-13)22"同理可得y人+!ycos2q+sin2。2“(1-14)sin2a+1丁cos2a(1-15)2严式（1-13）、（1-14）称为惯性矩的转轴公式，式（1-15）称为惯性积的转轴公式。§1-4形心主轴和形心主惯性矩一、主惯性轴、主惯性矩由式（1-15）可以发现，当«=0°,即两坐标轴互相重合时，/阴二当a=90°时,厶T二-口,因此必定有这样的一对坐标轴，使截而对它的惯性积为零。通常把这样的一对坐标轴称为截面的主惯性轴，简称主轴，截面对主轴的惯性矩叫做主惯性矩。假设将z
10、、y轴绕O点旋转々加得到主轴Z。、为，由主轴的定义yozo——-sin2a()+1cos2a()=02'从而得一U（1-16）上式就是确定主轴的公式，式屮负号放在分子上，为的是和下面两式相符。这样确定的«o角就使得％等于max。由式（1-16）及三角公式可得sin2an=t将此二式代入到式（1-13）.（T-14）便可得到截面对主轴却、为的主惯性矩◎2I厶•°2二、形心主轴、形心主惯性矩(1-17)通过截面上的任何一点均可找到一对主轴。通过截面形心的主轴叫做形心主轴，
