材料力学,附录 截面的几何性质

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1、AppendixⅠPropertiesofPlaneAreas附录截面的几何性质附录Ⅰ截面的几何性质(AppendixⅠPropertiesofplaneareas)§1-1截面的静矩和形心(Thefirstmomentsofthearea¢roidofanarea)§1-4转轴公式(Rotationofaxes)§1-2极惯性矩惯性矩惯性积(PolarmomentofinertiaMomentofinertiaProductofinertia)§1-3平行移轴公式(Parallel-Axistheorem)§1-1截面的静矩和形心(Thefirstmomentofthe

2、area¢roidofanarea)一、静矩(Thefirstmomentofthearea）OyzdAyz截面对y,z轴的静矩为静矩可正，可负，也可能等于零.yzOdAyz二、截面的形心(Centroidofanarea)C（2）截面对形心轴的静矩等于零.（1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心.三、组合截面的静矩和形心(Thefirstmoments¢roidofacompositearea)由几个简单图形组成的截面称为组合截面.截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩.其中Ai—第i个简单截面面积1.组合截面静矩(Thefi

3、rstmomentsofacompositearea)2.组合截面形心(Centroidofacompositearea)—第i个简单截面的形心坐标解：组合图形，用正负面积法解之.方法1用正面积法求解.将截面分为1，2两个矩形.例题1试确定图示截面形心C的位置.取z轴和y轴分别与截面的底边和左边缘重合101012012Ozy90图(a)矩形1矩形2所以101012012Ozy90方法2用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积C1yz§1-2极惯性矩、惯性矩、惯性积(Polarmomentofinertia、Momentofinerti

4、a、Productofinertia)yzOdAyz二、极惯性矩(Polarmomentofinertia）一、惯性矩(Momentofinertia)所以yzOdAyz三、惯性积(Productofinertia)（1）惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零；（2）若y，z两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则截面对y，z轴的惯性积一定等于零.yzdydyzdAdA四、惯性半径(Radiusofgyrationofthearea)解：bhyzCzdz例题2求矩形截面对其对称轴y,z轴的惯性矩.zyd解：因为截面对其圆心O的极惯性矩为例题3求圆形截面对其对称轴

5、的惯性矩.所以yzOC(a,b)ba一、平行移轴公式(Parallel-Axistheoremformomentofinertia)(a,b)―形心C在yOz坐标系下的坐标§1-3平行移轴公式(Parallel-axistheorem)y,z￣任意一对坐标轴C―截面形心yzOC(a,b)bazCyCyC,zC￣过截面的形心C且与y,z轴平行的坐标轴(形心轴）Iy,Iz,Iyz—截面对y,z轴的惯性矩和惯性积.已知截面对形心轴yC,zC的惯性矩和惯性积，求截面对与形心轴平行的y,z轴惯性矩和惯性积，则平行移轴公式IyC,IzC,IyCzC￣截面对形心轴yC,zC的惯性矩和惯性积.二

6、、组合截面的惯性矩、惯性积(Momentofinertia&productofinertiaforcompositeareas）组合截面的惯性矩，惯性积￣第i个简单截面对y,z轴的惯性矩，惯性积.例题4求梯形截面对其形心轴yC的惯性矩.解：将截面分成两个矩形截面.2014010020截面的形心必在对称轴zC上.取过矩形2的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作y轴.21zCyC所以截面的形心坐标为y2014010020y21zcyC一、转轴公式(Rotationofaxes)§1-4转轴公式(Rotationofaxes)yOz为过截面上的任一点建立的坐标系Oyzy1z1y1Oz1

7、为yOz转过角后形成的新坐标系顺時针转取为–号逆時针转取为+号已知截面对坐标轴轴y,z轴的惯性矩和惯性积求截面对y1，z1轴惯性矩和惯性积.转轴公式为Oyzy1z1显然二、截面的主惯性轴和主惯性矩(principalaxes&principalmomentofinertia)主惯性轴(Principalaxes)：总可以找到一个特定的角0,使截面对新坐标轴y0,z0的惯性积等于0,则称y0,z0为主惯性轴.主惯性矩(Principalmomentofinertia)：截面