附录i 截面的几何性质

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1、附录I截面的几何性质§I-1静矩与形心位置§I-2极惯性矩、惯性矩、惯性积§I-3惯性矩和惯性积的平行移轴定理§I-4惯性矩和惯性积的转轴公式1附录I截面的几何性质§I-1静矩与形心位置一、静矩：(与力矩类似)是面积与它到轴的距离之积。xdAyyx静矩是对一定轴而言的，同一截面对不同轴的静矩值不同。静矩值可正、负或零。单位为m3。静矩没有物理意义，纯平面几何性质。2附录I截面的几何性质dAxyyx对于组合截面：二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)等厚均质质心：等于形心坐标3附录I截面的几何性质xyohydyb(y)例1计算图示三角形截面对于与

2、其底边重合的x轴的静矩。解：用积分法解之。面积元素dA如图，则由相似三角形关系有三角形对x轴的静矩为：4附录I截面的几何性质例2试确定下图的形心。解：组合图形，用面积法求解。方法一：正面积法图形分割及坐标如图(a)801201010xyC2C1C1(0,0)C2(-35,60)5附录I截面的几何性质方法二：用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)120图(b)80C2负面积70110xy0C1C1（0,55）C2（5,60）6附录I截面的几何性质§I-2惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩：(与转动惯量类似）是面积与它到轴的距离的平方之积。dAxyy

3、xr二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等于截面对该两轴交点的极惯性矩。7附录I截面的几何性质dAxyyxr三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。如果x或y是对称轴，则Ixy=0说明：1、Ix、Iy、Ixy都是对轴而言的，同一截面对不同轴的数值不同。2、Iρ是对点（极点）而言，对不同的点数值不同。3、Ix、Iy、Ixy和Iρ的单位为m4。Ix、Iy和Iρ恒为正值，Ixy为代数值。4、Ix、Iy、Ixy和Iρ没有物理意义，纯平面几何性质。8附录I截面的几何性质四、应用例1计算图示矩形截面对于其对称轴x和y的惯性矩。

4、xcbhyxdx解：取平行x轴的狭长条作为面积元素，则ydy矩形截面对x轴的惯性矩为：矩形截面对y轴的惯性矩为：9附录I截面的几何性质xydc例2计算圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩。2xydy解：以圆心为原点，选坐标轴如图，取平行于轴的狭长条为面积元素，则截面对x轴惯性矩为：同理，对y轴惯性矩为：10附录I截面的几何性质例3计算圆截面对于其圆心的极惯性矩。dρdρ解：取图示环形面积为微面积，即圆截面对于圆心极惯性矩与对于过圆心的轴x和y的关系：11附录I截面的几何性质dAxyyxr§6-3惯性矩和惯性积的平行移轴定理一、平行移轴定理：（与转

5、动惯量的平行移轴定理类似）以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图abCxCyC12附录I截面的几何性质注意:C点必须为形心同理dAxyyxrabCxCyC13附录I截面的几何性质例1求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：求解此题有两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。B建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。AdxyO圆14附录I截面的几何性质例2求图示截面对于对称轴x的惯性矩。xd=80a=100100解：将截面分成一个矩形和两个半圆形。设矩形对于x轴的惯性矩为Ix1，每个半圆形对于x轴的惯性矩为Ix2，截面对于x轴的惯性

6、矩为：矩形对于x轴的惯性矩为：半圆形对于x轴的惯性矩可利用平移轴公式求得。半圆对底边的惯性矩为圆形对其直径轴的惯性矩之半，即15附录I截面的几何性质而半圆的形心距底边距离为，面积为如图所示。则利用平移轴公式有：截面对于轴的惯性矩为：16附录I截面的几何性质I-4惯性矩和惯性积的转轴定理dAxyyxax1y1x1y1将和代入上式，整理得17附录I截面的几何性质用同样方法可得截面对y1轴的惯性矩和对x1、y1轴的惯性积α的方向：以x轴为基线，逆时针为正，顺时针为负。且18附录I截面的几何性质1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到=0时；恰好有与0对应

7、的旋转轴x0y0称为主惯性轴。平面图形对主轴之惯性矩主惯性矩。将和及代入转轴公式，整理得：19附录I截面的几何性质2.形心主轴和形心主惯性矩：主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩形心主惯性矩：20附录I截面的几何性质①建立坐标系②计算面积和面积矩③求形心位置④建立形心坐标系；求：IyC，IxC，IxCyC⑤求形心主轴方向—0⑥求形心主惯性矩组合截面惯性矩的计算21附录I截面的几何性质例1在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)解：①建立坐标系如图。②求形心位置。③建立形心坐标系；求：

8、IyC，IxC，IxCydb2dxyOxCyCx122附录I截面的几何性质db2dxyOxCyCx123附录I截面的几何性