附录I 截面的几何性质.ppt

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1、附录I截面的几何性质§I-1截面的静矩和形心的位置§I-2极惯性矩惯性矩惯性积§I-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积§I-4惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩11.静矩CxydAxCxyCyO2.形心3.形心与静矩的关系图形对某轴的静矩为零,则该轴一定过图形的形心;某轴过图形的形心,则图形对该轴的静矩为零。§I-1截面的静矩和形心的位置2例I-1求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。OCrxydAyCydy解:过圆心O作与x轴垂直的y轴,在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条

2、,所以4、组合图形的形心与静矩(1)组合图形的静矩(2)组合图形的形心3解:将此图形分别为I、II、III三部分,以图形的铅垂对称轴为y轴,过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴,则例I-2求图示图形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10由于对称知:xC=041.极惯性矩:2.惯性矩:为图形对一点的极惯性矩;xydAxyrO3.惯性积:为图形对x、y一对正交轴的惯性积;分别为图形对x、y轴的惯性矩;4.①惯性矩与极惯性矩的关系:平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数,等于图形对该点的极惯性

3、矩。§I-2极惯性矩惯性矩惯性积5解:平行x轴取一窄长条,其面积为dA=bdy,则②惯性矩、极惯性矩恒为正值,惯性积有正负,单位:m4、cm4、mm4;③若图形有一个对称轴,则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零;④惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩⑤如将dA看成质量dm,则Ix、Iy、Ip分别为平面体对x轴、y轴、原点的转动惯量。例I-3求图示矩形对通过其形心且与边平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。dyb/2b/2xyyh/2h/2CdA又因为x、y轴皆为对称轴,故Ixy=0。同理可得6由于圆形对任意直径轴都

4、是对称的,故Ix=Iy注意到Ip=Ix+Iy,得到例I-4求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩Ip。dCxydrr解:首先求对圆心的极惯性矩。在离圆心O为r处作宽度为dr的薄圆环,其面积dA=2prdr,则7一、平行移轴公式1.公式推导2.平行移轴公式②b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标,所以它们是有正负的。3.注意:①xC、yC轴是形心轴,在所有的平行轴中,图形对形心轴的惯性矩最小;§I-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积二、组合图形的惯性矩:8OxyCdAxCyCa

5、byxxCyC已知:、、,形心在xOy坐标系下的坐标(a,b),求Ix、Iy、Ixy9例I-5求图示T型截面对形心轴的惯性矩。530530例I-6已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12,求其对过顶点的与底边平行的x2轴的惯性矩。bx1hx2xCh/3解:由于x1、x2轴均非形心轴,所以不能直接使用平行移轴公式,需先求出三角形对形心轴xC的惯性矩,再求对x2轴的惯性矩,即进行两次平行移轴:10303055CC2C1y221y1zC1zC2求T形截面对形心轴的惯性矩先求形心的位置:取参考坐标系如图,则:再求截面对形心轴的惯性矩:y

6、CzyCzC11一、惯性矩和惯性积的转轴公式1.公式推导:2.转轴公式:3.注意:a是x轴与x1轴的夹角,由x轴逆时针转到x1轴时的a为正。§I-4惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩12y1=

7、AC

8、dAy1x1y1x1ayxaDEBACOxy已知:Ix、Iy、Ixy、a,求、、。=

9、AD

10、-

11、EB

12、=ycosa-xsina利用三角变换,得到同理,利用:x1=

13、OC

14、=

15、OE

16、+

17、BD

18、=xcosa+ysina得到13③形心主惯性矩:图形对形心主轴的惯性矩;2.主轴方位:①利用主轴的定义—惯性积等于零进行求解;②主轴与x

19、轴的夹角:③由上式可求出相差90o的a0,a0+90o,分别对应于一对相垂直的主轴x0、y0;二、主惯性轴、主惯性矩1.主轴的相关概念:①主轴(主惯性轴):惯性积等于零的一对正交轴;②形心主轴:过图形形心的主轴,图形的对称轴就是形心主轴14②与主轴方位的对应关系:求a0时只取主值

20、2a0

21、≤p/2),若Ix>Iy,则由x轴转过a0到达x0轴时,有;若Ix

22、:图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值,就是对过该点主轴的两个主惯性矩。3.主惯性矩大小:①1512010101070例I-7计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩IIIIIIICxyy0x0a0图形

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