附录I 截面的几何性质.ppt

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1、附录I截面的几何性质§I-1截面的静矩和形心的位置§I-2极惯性矩惯性矩惯性积§I-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积§I-4惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩11.静矩CxydAxCxyCyO2.形心3.形心与静矩的关系图形对某轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心；某轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零。§I-1截面的静矩和形心的位置2例I-1求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。OCrxydAyCydy解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条

2、，所以4、组合图形的形心与静矩（1）组合图形的静矩（2）组合图形的形心3解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则例I-2求图示图形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10由于对称知：xC=041.极惯性矩：2.惯性矩：为图形对一点的极惯性矩；xydAxyrO3.惯性积：为图形对x、y一对正交轴的惯性积；分别为图形对x、y轴的惯性矩；4.①惯性矩与极惯性矩的关系：平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性

3、矩。§I-2极惯性矩惯性矩惯性积5解：平行x轴取一窄长条，其面积为dA=bdy，则②惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：m4、cm4、mm4；③若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零；④惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩⑤如将dA看成质量dm，则Ix、Iy、Ip分别为平面体对x轴、y轴、原点的转动惯量。例I-3求图示矩形对通过其形心且与边平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。dyb/2b/2xyyh/2h/2CdA又因为x、y轴皆为对称轴，故Ixy=0。同理可得6由于圆形对任意直径轴都

4、是对称的，故Ix=Iy注意到Ip=Ix+Iy，得到例I-4求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩Ip。dCxydrr解：首先求对圆心的极惯性矩。在离圆心O为r处作宽度为dr的薄圆环，其面积dA=2prdr，则7一、平行移轴公式1.公式推导2.平行移轴公式②b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。3.注意：①xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小；§I-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积二、组合图形的惯性矩：8OxyCdAxCyCa

5、byxxCyC已知：、、，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)，求Ix、Iy、Ixy9例I-5求图示T型截面对形心轴的惯性矩。530530例I-6已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平行的x2轴的惯性矩。bx1hx2xCh/3解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以不能直接使用平行移轴公式，需先求出三角形对形心轴xC的惯性矩，再求对x2轴的惯性矩，即进行两次平行移轴：10303055CC2C1y221y1zC1zC2求T形截面对形心轴的惯性矩先求形心的位置：取参考坐标系如图，则：再求截面对形心轴的惯性矩：y

6、CzyCzC11一、惯性矩和惯性积的转轴公式1.公式推导：2.转轴公式：3.注意：a是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴时的a为正。§I-4惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩12y1=

7、AC

8、dAy1x1y1x1ayxaDEBACOxy已知：Ix、Iy、Ixy、a，求、、。=

9、AD

10、-

11、EB

12、=ycosa-xsina利用三角变换，得到同理，利用：x1=

13、OC

14、=

15、OE

16、+

17、BD

18、=xcosa+ysina得到13③形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩；2.主轴方位：①利用主轴的定义—惯性积等于零进行求解；②主轴与x

19、轴的夹角:③由上式可求出相差90o的a0，a0+90o，分别对应于一对相垂直的主轴x0、y0；二、主惯性轴、主惯性矩1.主轴的相关概念：①主轴(主惯性轴)：惯性积等于零的一对正交轴；②形心主轴：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形心主轴14②与主轴方位的对应关系：求a0时只取主值

20、2a0

21、≤p/2)，若Ix>Iy，则由x轴转过a0到达x0轴时，有；若Ix

22、：图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该点主轴的两个主惯性矩。3.主惯性矩大小：①1512010101070例I-7计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩IIIIIIICxyy0x0a0图形