附录 截面的几何性质

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1、材料力学MechanicsofMaterials附录:石家庄铁道学院截面的几何性质力学是数学的乐园，因为我们在这里获得了数学的果实。-LeonardodeVinci材料力学MechanicsofMaterials主要内容§Ⅰ-1截面的静矩和形心位置§Ⅰ-2惯性矩和惯性积§Ⅰ-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式§Ⅰ-4惯性矩和惯性积的转轴公式主轴和主矩石家庄铁道学院基本要求明确平面图形几何性质的概念和意义熟练掌握基本图形和组合图形惯性矩和惯性积的计算明确主轴和主矩的概念；熟练掌握主轴和主矩的计算材料力学MechanicsofMaterial

2、s不同受力形式下的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的长度，而且与杆件截面的几何性质有关。FNFNL12拉压：σ=Δl=A=πdAEA4石家庄铁道学院TρTL=2扭转：τ=ϕIdA=∫ρIGIPPP几何性质：选定坐标系后，大小仅与截面的几何形状和尺寸有关的量实质：求dA对轴或坐标原点的n次矩。nmn∫∫AAx(y,ρ)dAxydA材料力学MechanicsofMaterials§Ⅰ-1截面的静矩和形心位置y一.静矩(一次矩)xdAS=ydAS=xdAx∫Ay∫A石家庄铁道学院x静矩与坐标轴位置有关，y其值可正，可负，可零;y单位

3、mm3。ox二.形心∫xdASyA=Ax=∫xdAx=AAAS=Axy材料力学MechanicsofMaterialsy二.形心xdA∫xdASyx=A=S=AxyAAxyydA石家庄铁道学院y∫ASx面积Ay==Sx=AyAAox※若x=0,y=0,S=0,S=0.zy某轴是截面的形心轴截面对该轴的静矩为0。材料力学MechanicsofMaterials例题:求图示矩形截面对x、y的S和Sxyyxdx方法一:hbh2dySx=∫ydA=∫ybdy=Ao2h2石家庄铁道学院yhb同理S=y2oxb方法二:hbbh2Sx=∫ydA=∫

4、ydy∫dx=Ao02方法三:2hbhS=Ay=bh=x22材料力学MechanicsofMaterials例题:求半径为R的半圆形截面的形心坐标。yx=0dρdA=ρdαdρy=ρsinαρ石家庄铁道学院Rdααx∫ydASxy=A=AA3=R2π2RSx∫∫ρsinαρdαdρ=∫∫ρdρsinαdα=00332R34Ry==2πR23π材料力学MechanicsofMaterialsyydAS∫A=xy=dyAAb(y)RydA=b(y)dyx石家庄铁道学院22=2R−ydyR22Sx=∫AydA=∫y(2R−y)dy0R222

5、223=∫y(2R−y)d(R−y)=R034Ry=3π材料力学MechanicsofMaterials三.组合图形的静矩和形心组合图形：由若干简单，规则的图形（矩形、圆形、三角形等，其形心已知）组合而成。石家庄铁道学院nS∑AxyiiSx=∑Aiyi=A1y1+A2y2+LAnynx=A=Ai=1∑inSy=∑Aixi=A1x1+A2x2+LAnxnSx∑Aiyiy==i=1A∑Ai材料力学MechanicsofMaterials例题:求图示截面的形心坐标。y102A=120×10=1200mm1x=5mmy=60mmⅠ112石家庄

6、铁道学院120A=700mmx=45mmy=5mm22210Ax+Ax3112237500mmⅡxx==280A1+A21900mm=20mmAy+Ay1122y==40mmA+A12材料力学MechanicsofMaterials§Ⅰ-2惯性矩极惯性矩惯性积yx1.惯性矩（截面二次极矩）dA22Ix=∫AydAIy=∫xdAA石家庄铁道学院y2.极惯性矩（截面二次极矩）ρ2I=ρdAoxp∫Aı惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯矩，是对点定义的。ı惯性矩和极惯矩永远为正。材料力学MechanicsofMaterialsı对坐标

7、原点的极惯性矩等于对过该原点的互相垂直的2个轴惯性矩之和。y222Ip=∫ρdA=∫(x+y)dAy'xdAAAx'y'=I+I=I+Ix'xyx'y'石家庄铁道学院yρı对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其ox惯性矩越大。xx材料力学MechanicsofMaterialsy3.惯性积xdAI=xydAxy∫Aı惯性积可能为正、为负、为零。yρ石家庄铁道学院ı只要x和y轴有一个是对称轴,ox则I=0。xyyx2=(−x1)x1I=xydAxy∫AdAdAyy=xydA+(−xy)dA=0x∫A∫A22o材料力学Mech

8、anicsofMaterialsy4.惯性半径xdAIxIi=yxi=AyAyρ石家庄铁道学院ı惯性半径的单位为m。oxı惯性半径的数值恒取正值。材料力学MechanicsofMaterials例题：求矩形截面对其对称轴