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《《导数的概念及其几何意义》教案2（北师大版选修1-1）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、导数的概念和几何意义一、教学目标（一）知识目标1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过稈，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2.通过函数图彖直观了解导数的几何意义.（二）能力目标掌握用定义法求函数的导数的一般步骤，并能利用函数的导数知识解决一些应用性问题.（三）情感目标通过“极限法”的学习，提高学生的数学素质，加强学生分析问题和解决问题的能力,认识事物Z间的相互联系，会用联系的观点看问题.二、教学重点导数的定义与求导的方法.三、教学难点对导数概念
2、的理解.U!教学过程:（一）复习引入师：前面我们研究了两类问题，一类来自物理学，涉及平均速度和瞬时速度；另一类问题来自几何学，涉及割线斜率和切线斜率.你们能否将这两类问题所涉及的共性表述出来？生：这两类问题都涉及到以下儿件事：（1）一个函数/（X）；（2）/（x+d）—f（x）；（3）/（x+〃）_.f（x）.d'（4）当〃趋于OH■寸，八x+〃）_/（X）趋于_个确定的常数.d师：很好，我们发现上述两类问题虽然来自的学科领域，但有着相同的数学模型，今天我们就一起来研究这个数学模型一一导数的概念和几何意义
3、.（二）探求新知1.增量、变化率的概念对于函数丿=/（x）,7^（x0,）,0）是函数图象上的一点，QO］,y［）是另一点，H变量从变化为兀］时,相应的函数值有yo变为力‘其中x—X2叫做自变量x的增量，记为4兀,yi-y0叫做函数的增量（也叫函数的差分），记为则△『=/（旳）-/（心）.型叫做函数的Ax变化率（或函数/（X）在步长为Zk的差商）.★光滑Illi线上某点切线的斜率的木质——函数平均变化率的极限.★物体运动的瞬时速度的本质——位移平均变化率的极限.1.导数定义设函数/（兀）在包含必的某个区
4、间上有定义,如果比值旦也二山"在d趋于0时,（1（dHO）趋于确定的极限值，则称此极限值为函数/Q）在*勺处的导数或微商，记做/（x）.上述定义的符号表示为：（X。）Tf・（q）（dT0）.d这个表达式读作“d趋于0时，/（心+〃）-•/©））趋于/'（x0）・cl简单地说：函数的瞬时变化率，在数学上叫做函数的导数或微商.★/'（X）也是关于X的函数，叫做函数/（X）的导函数.2.求导数的步骤（1）求函数的增量Ay=/（x0+Ax）-/（x0）.;（2）求平均变化率型二如空二AxAx（3）令△x->0,差
5、商f/（*v（））・3.导数的几何意义函数y=.f⑴在点X。处的导数的儿何意义，就是1111线），=・f（x）在点p（xo，/（心）处的切线的斜率fxQ）.4.导数的物理意义函数S=5（f）在点/0处的导数s（G）的物理意义是运动物体在时刻「0处的瞬时速度.（三）讲解例题例1国家环保局在规定的排污达标的口期前，对甲、乙两家金业进行检查，其连续检测结果如图所示（图中W]（/）,W2（/）分别表示甲、乙企业在时刻f的排污量）.试问哪个企业的治污效果较好？分析：木题主要体现差商（即差分和对应步长的比）定义在现
6、实生活中的运用，要想知道哪个企业的治污效果好，关键看平均治污率，平均治污率越大，治污效果越好.解：在时刻"处,虽然W
7、（r）=W2⑺,即排污量相同，但是考虑到一开始有M（r0）>必（/o），所以有叱4）一叱仏）〉％4）-％仏）ri_roG_ro说明在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大.即企业甲的治污效果要好一些.例2投石入水，水血产生圆形波纹区.圆的血积随着波纹的传播半径r的增大而增大（如图），计算：（1）半径广从d增加到d+力时，圆面积相对于厂的平均变化率；（2）半径7=d时，圆面积相对于广的瞬时变
8、化率.分析：木例屮的题（1）是求变化屮的儿何图形（圆）面积的平均变化率。它同例1及我们前血讨论过的运动物体的平均速度，以及函数曲线的割线斜率一样，从数学的角度看，都定函数值的改变最与对应的自变量的改变量的比，即差商。而题（2）则是求圆面积的瞬时变化率，实际实际上就是求函数S=加2的瞬时变化率.而它与我们已经较为熟悉的瞬时速度，切线的斜率等都是相应函数的瞬时变化率。利用木例，课本给出了函数导数的概念，而学生则又一次体验寻求瞬时变化率（即平均变化率在某点处的极限）的过程.有利于学生更深刻理解导数的概念.解：（
9、1）半径r从a增加到a+hH寸，圆瓯积从加'增加到7r（a+h）2,其改变最为龙［（d+疔-,而半径厂的改变量为h,两者的比就是所求的圆面积相对于半径,•的平均变化率:=7r(2a+h).7r[(a4-h)2-a2]_7r(2ah+h~)hh（2）在上面得到的平均变化率表达式屮，让厂的改变量力趋于0,得到半径匸d时,圆面积相对于r的瞬时变化率为2/ra.例3在初速度为零的匀加速运动屮，路程$和时间/的关系为5=5（r）=—.2
