清华大一高数第一学期期末试题.doc

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1、一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）=________________.（2）曲线上与直线平行的切线方程为_________________.（3）已知，且,则_____________.（4）曲线的斜渐近线方程为______________.（5）微分方程的通解为___________________.二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（）(A)(B)(C)(D)（2）函数在内有定义，其导数的图形如图1-1所示，则（）.(A)都是极值点.(B)都是拐点.(C)是极值点.，是拐点.(D)是拐点，是极值点.

2、图1-1（3）函数满足的一个微分方程是（）.（A）（B）（C）（D）（4）设在处可导，则为（）.(A).(B).(C)0.(D)不存在.　　（5）下列等式中正确的结果是（）.(A)(B)(C)(D) 算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限.2.方程确定为的函数，求与.3.3.   计算不定积分.4.计算定积分. 四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的密度为，计算桶的一端面上所受的压力．3.（本题8分）设在上有连续的导数，，且，试求.4.

3、（本题8分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D.(1)(1)   求D的面积A;(2)(2)   求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V. 五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数，.一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）=_____________.（2）曲线上与直线平行的切线方程为_________.（3）已知，且,则___________.（4）曲线的斜渐近线方程为_________ （5）微分方程的通解为_________二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（D）(

4、A)(B)(C)(D)（2）函数在内有定义，其导数的图形如图1-1所示，则（D）.(A)都是极值点.(B)都是拐点.(C)是极值点.，是拐点.(D)是拐点，是极值点.图1-（3）函数满足的一个微分方程是（D）.（A）（B）（C）（D）（4）设在处可导，则为（A）.(A).(B).(C)0.(D)不存在.　　（5）下列等式中正确的结果是（A）.(A)(B)(C)(D)三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限.解=-------1分=-------2分=-------1分=-------2分2.方程确定为的函数，求与.解---------------

5、-------------（3分）---------------------（6分）3.4.计算不定积分.4.计算定积分.解------------------------（3分）--------------------------------------------------------------（6分）（或令）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程.  2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力． 解：建立坐标系如图3.（本题8分）设在上有连续的导数，

6、，且，xy试求.4.（本题8分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D.(1)(3)   求D的面积A;(2)(4)   求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V.解：(1)设切点的横坐标为，则曲线在点处的切线方程是----1分由该切线过原点知，从而所以该切线的方程为----1分平面图形D的面积----2分（2）切线与轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为----2分曲线与x轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为，----1分因此所求旋转体的体积为----1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数，.解法一：解法二

7、：设则------------------------1分因为------------------------——————1分当时，单调增加，------------------------2分当时，单调增加，------------------------2分所以对于任意的实数，即。------------------------1分解法三：由微分中值定理得，，其中位于0到x之间。------------------------2分当时，，。------------------------2分当时，，。------------------------2分所以对