清华大一高数第一学期期末试题.doc

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1、一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1．.2．.3．设函数由方程确定，则.4.设可导，且，，则.5．微分方程的通解为.二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数，则函数在内零点的个数为（）.(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2．微分方程的特解形式为（）.（A）;（B）;（C）;（D）.3．下列结论不一定成立的是（）.（A）若,则必有;（B）若在上可积,则;（C）若是周期为的连续函数,则对任意常数都有;（D）若可积函数为奇函数,则也为奇函数.4.设,则是的（）.(A)连续点;(B)可去间断

2、点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分）1．计算定积分2．计算不定积分.3．求摆线在处的切线的方程.4.设，求.5．设，求. 四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分）1．求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.2．设平面图形由与所确定，试求绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积.3.设在内的驻点为问为何值时最小?并求最小值.五．证明题（7分）设函数在上连续，在内可导且试证明至少存在一点,使得一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1．.2．.3．设函数由方程确定，则.

3、4.设可导，且，，则.5．微分方程的通解为.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：1．设常数，则函数在内零点的个数为（B）.(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2．微分方程的特解形式为（C）（A）；（B）；（C）；（D）3．下列结论不一定成立的是（A）(A)(A) 若,则必有;(B)(B) 若在上可积,则;(C)(C) 若是周期为的连续函数,则对任意常数都有;(D)(D) 若可积函数为奇函数,则也为奇函数.4.设,则是的（C）.(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.三．计算题（每小题

4、6分，5题共30分）：1．计算定积分.解：-------2-------2--------22．计算不定积分.-----------33．求摆线在处的切线的方程.解：切点为-------2-------2切线方程为即.-------2 4.设，则.5．设，求.解：---------2--------------2=------------2故=四．应用题（每小题9分，3题共27分）1．求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.解：设切点为，则过原点的切线方程为，由于点在切线上，带入切线方程，解得切点为.-----3过

5、原点和点的切线方程为-----------------------------3面积=-------------------3 或 2．设平面图形由与所确定，试求绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积.解：法一：-------6--------3法二：V=------------------5-------------4 3.设在内的驻点为问为何值时最小?并求最小值.解:---------------3------------3-----2故--------------1五．证明题（7分）设函数在上连续，在内可导且试证明至少存在一

6、点,使得证明：设，在上连续在可导，因,有,---------------2又由，知在上用零点定理，根据，---------------2可知在内至少存在一点，使得,由ROLLE中值定理得至少存在一点使得即，证毕.--------------3