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1、第三讲平面向量与复数一、向量有关的概念及运算例1、已知向量与的对应关系用表示。（1）证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立；（2）设，求向量及的坐标；（3）求使，（p，q为常数）的向量的坐标解析：（1）设，则，故，∴（2）由已知得=（1，1），=（0，－1）（3）设=（x，y），则，∴y=p，x=2p－q，即=（2P－q，p）。例2、已知非零向量与满足=0且，则△ABC为_____________三角形。解：由=0，知角A的平分线垂直于BC，故△ABC为等腰三角形，即
2、AB
3、=
4、AC
5、；由，∴=600.所以△ABC为等边三角形。例3、(1)已知,,与的夹角为1
6、200，求使与的夹角为锐角的实数k的取值范围.14(2)已知，，且与的夹角为钝角，求实数m的取值范围.解：(1)==k+(k2+1)×1×2×cos1200+4k=–k2+5k–1,依题意，得–k2+5k–1＞0，∴.又当与同向时，仍有＞0，此时设，显然、不共线，所以，k=,k==,取k==1.ABCMONE∴且k≠1.例4、如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则m+n=______.解1：取特殊位置.设M与B重合，N与C重合，则m=n=1,所以m+n=2.解2：=，∵M、O、N三点共线，∴,∴m+n
7、=2.解3：过点B作BE∥AC,则，.又，∴1–m=n–1,∴m+n=2.二、向量与三角结合例5、已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a与b之间有关系
8、ka+b
9、=
10、a－kb
11、，其中k>0，（1）用k表示a·b;（2）求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小。14解（1）要求用k表示a·b,而已知
12、ka+b
13、=
14、a－kb
15、，故采用两边平方，得
16、ka+b
17、2=(
18、a－kb
19、)2k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2a·b=∵a=(cosα，sinα),b=(co
20、sβ,sinβ)，∴a2=1,b2=1,∴a·b==（2）∵k2+1≥2k，即≥=∴a·b的最小值为，又∵a·b=
21、a
22、·
23、b
24、·cos，
25、a
26、=
27、b
28、=1∴=1×1×cos。∴=60°,此时a与b的夹角为60°。例6、已知向量,且满足,(1)求证;(2)将与的数量积表示为关于的函数;(3)求函数的最小值及取得最小值时向量与向量的夹角.解:(1),故(2),14故.(3),此时当最小值为.,量与向量的夹角三、复数例7、已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.[解法一]，∴.若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.，所求的一个一元二次方
29、程可以是.[解法二]设，得，以下解法同[解法一].例8、设z∈C，求满足z+∈R且
30、z－2
31、=2的复数z.分析：设z=a+bi(a、b∈R)，代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b的两个方程解法一：设z=a+bi，14则z+=a+bi+=a+bi+=a++(b－)i∈R∴b=∴b=0或a2+b2=1当b=0时，z=a，∴
32、a－2
33、=2∴a=0或4a=0不合题意舍去，∴z=4当b≠0时，a2+b2=1又∵
34、z－2
35、=2，∴(a－2)2+b2=4解得a=，b=，∴z=±i综上，z=4或z=±i解法二：∵z+∈R，∴z+=+∴(z－)－=0，(z－)·=0∴
36、z=或
37、z
38、=1，下同解法一14第三讲平面向量与复数班级_____________姓名______________1、复数的共轭复数是________.2、复数z＝i＋i2＋i3＋i4+……+i2008=__________.3、若复数满足方程，则_______.4、已知复数z0=3+2i,复数z满足zz0=3z+z0，则z=.5、若,，且为纯虚数，则实数a的值为___．6、若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为_________.7、已知，=3，和的夹角为，求当向量与的夹角为锐角时，的取值范围为_____________________.8
39、、已知O为原点，有点A（d,0）、B（0，d），其中d>0，点P在线段AB上，且（0≤t≤1），则的最大值为______________．9、已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,.则P点的轨迹一定通过△ABC的___心.10、已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,.则P点的轨迹一定通过△ABC的_____心.11、已知点G是△ABC的重心，若过△ABC的重心，记=a,=b,=ma,=nb,则=__________.1412、设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是.13、已知向量，，对任意，恒有.现
40、给出下列四个结论：①；②；③，④.则正
