高等数学教学教学教案（同济六版）2-4 函数地微分.ppt

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1、第四讲函数的微分函数的微分一、微分的概念二、微分的运算三、微分的应用函数的微分一、微分的概念二、微分的运算三、微分的应用一微分的概念(一)引例(二)定义(三)可微条件(四)几何意义一微分的概念(一)引例(二)定义(三)可微条件(四)几何意义(一)引例1．函数值的计算例分析已知相差很小算不出问题线性函数2．误差计算例分析已知相差很小问题线性函数问题1归结为：能否找到一个函数A0+AΔx,使问题2归结为：能否找到一个函数AΔx,使一微分的概念(一)引例(二)定义(三)可微条件(四)几何意义一微分的概念(一)引例(二)定义(三)可微条件(四)几何

2、意义注1．微分的特性Δx的线性函数与Δy的差是Δx的高阶无穷小2．A仅与x0有关，与Δx无关3．dy与A及Δx有关定义设函数记作即在某区间内有定义,及在这区间内,如果增量可表示为其中是不依赖于的常数,那么称在点是可微的,而叫做函数在点相应于自变量增量的微分.一微分的概念(一)引例(二)定义(三)可微条件(四)几何意义一微分的概念(一)引例(二)定义(三)可微条件(四)几何意义定理y=f(x)在x0处可微y=f(x)在x0处可导注1．y=f(x)在x0处可微2．Δx称为自变量的微分,记作:dx3．y=f(x)在x0处的微分记作：4．y=f(x

3、)在任意点x处的微分记作：5．导数也称为“微商”一微分的概念(一)引例(二)定义(三)可微条件(四)几何意义一微分的概念(一)引例(二)定义(三)可微条件(四)几何意义切线纵坐标的增量思想：在一个微小的局部“以直代曲，以不变代变”几何意义：函数的微分一、微分的概念二、微分的运算三、微分的应用函数的微分一、微分的概念二、微分的运算三、微分的应用1．微分公式2．微分法则（1）和、差、积、商的微分法则（2）复合函数的微分法则微分的形式不变性u为自变量u为中间变量例1求函数当时的微分例2求例3求例4求例5函数的微分一、微分的概念二、微分的运算三、微

4、分的应用函数的微分一、微分的概念二、微分的运算三、微分的应用三、微分的应用（一）近似计算（二）误差估计三、微分的应用（一）近似计算（二）误差估计称为的线性主部当

5、Δx

6、比较小时即或例6求当

7、x

8、比较小时近似公式原理三、微分的应用（一）近似计算（二）误差估计三、微分的应用（一）近似计算（二）误差估计设某个量的精确值为A，近似值为aa的绝对误差a的相对误差A的绝对误差限A相对误差限y的绝对误差限y的相对误差限若若按公式y=f(x)计算y值原理设测得圆钢截面的直径测量D的绝对误差限欲利用公式试估计面积的误差.计算圆钢截面积,例7