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《高等数学教学教学教案（同济六版）3-5 函数地单调性与曲线地凸凹性.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五讲函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数的单调性二、曲线的凹凸性三、小结函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数的单调性二、曲线的凹凸性三、小结一、函数的单调性（一）概念（二）判定（三）应用一、函数的单调性（一）概念（二）判定（三）应用x1x2x1x2xoyxoy一、函数的单调性（一）概念（二）判定（三）应用一、函数的单调性（一）概念（二）判定（三）应用判定定理设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(1)如果在(a,b)内f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a
2、,b]上单调增加(2)如果在(a,b)内f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少xoyxoy判定定理设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(1)如果在(a,b)内f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加(2)如果在(a,b)内f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少例1判定函数在上的单调性例2讨论函数的单调性例3讨论函数的单调性一般结论如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外，导数存在且连续，那么用f'(x)=0的根及
3、f'(x)不存在的点划分函数的定义区间，就能保证f'(x)在各部分区间保持固定符号.xoy单调区间的求法（1）明确函数的定义域（2）求出导数等于零的点，明确不可导点（3）将上述点从小到大排列，把定义区间划分为若干子区间（4）在每个子区间上讨论导数的符号，判定函数的单调性（5）归纳例4确定函数的单调区间单调区间的求法（1）明确函数的定义域（2）求出导数等于零的点，明确不可导点（3）将上述点从小到大排列，把定义区间划分为若干子区间（4）在每个子区间上讨论导数的符号，判定函数的单调性（5）归纳注一般地，如果
4、在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正（或负）时，f(x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的。xyo例5确定函数的单调区间合并一、函数的单调性（一）概念（二）判定（三）应用一、函数的单调性（一）概念（二）判定（三）应用利用函数的单调性证明不等式例6当时证明证明思路不等式变形（以证明x>a时某不等式成立为例）函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数的单调性二、曲线的凹凸性三、小结函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数的单调性二、曲线的凹凸性三、小结二、曲线的凹凸性（一）概念（二）判定（三）应用二、曲
5、线的凹凸性（一）概念（二）判定（三）应用x1x2xoy定义设函数f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1，x2恒有那么称f(x)在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）如果恒有那么称f(x)在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）定义x1x2xoy设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点。如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点。注：拐点：曲线上的点二、曲线的凹凸性（一）概念（二）判定（三）应用二、曲线的凹凸性（一）概念（二
6、）判定（三）应用设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么判定定理(1)若在(a,b)内f"(x)＞0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；(2)若在(a,b)内f"(x)＜0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的；设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么判定定理(1)若在(a,b)内f"(x)＞0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；(2)若在(a,b)内f"(x)＜0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的；设f(x)在[a,b]上连续，在(
7、a,b)内具有一阶和二阶导数，那么判定定理(1)若在(a,b)内f"(x)＞0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；例7判定曲线的凹凸性例8判定曲线的凹凸性例9判定曲线的凹凸性(2)若在(a,b)内f"(x)＜0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的；确定曲线的凹凸区间和拐点例10解:函数的定义域为由得用上述点将分为三个部分区间确定曲线的凹凸区间和拐点例10列表讨论xf"(x)f(x)－1100凹凹凸在和上曲线是凹的在上曲线是凸的曲线的拐点为:和凹凸区间及拐点的求法（1）明确函数的定义域（2）求出二
8、阶导数等于零的点，明确二阶不可导点（3）将上述点从小到大排列，把定义区间划分为若干子区间（4）在每个子区间上讨论二阶导数的符号，判定曲线的凹凸性（5）归纳（6）曲线上凹凸性发生变化的点即为拐点例11确定曲线的凹凸性和拐点注若f"(x0)=0或f(x)在x0处二阶导数不存在,点(x0,f(x0))不一定是曲线y=f(x)的拐点二、曲线的凹凸性（一）概念（二）判定（三）应用二、曲线的凹凸性（一）概念（二）判定（三）应用利用曲线的凹凸性证明不等式例12证明函数
