高等数学教学教学教案（同济六版）9-8 多元函数微分学地几何应用.ppt

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1、第八讲多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例引入空间曲线的参数方程映射一元向量值函数定义设数集则称映射为一元向量值函数，通常记为：因变量自变量定义域注(1)一元向量值函数是一元函数的推广一元

2、函数一元向量值函数自变量因变量实数值实数值实数值n维向量(2)这里只研究n=3的情形表示法在中,若向量值函数的三个分量函数依次为则向量值函数可表示为或图形xyzOMr设当t改变时,终点M的轨迹(记作曲线称为向量值函数的终端曲线，曲线也称为向量值函数的图形一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例定义设向量值函数在点的某一去心邻域内有定义,如果存在一个常向量对于任意给定的正数总存在正数使得当t满足时,对应的函数值

3、都满足:那么,常向量就叫做向量值函数当时的极限，记作或注向量值函数当时的极限存在的充要条件:的三个分量函数当时的极限存在,且有:定义注向量值函数在连续的充要条件:设向量值函数在点的某一邻域内有定义,若则称向量值函数在连续.的三个分量函数都在连续.定义设向量值函数若在中的每一点都连续，则称在上连续,并称为上的连续函数.一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例定义设向量值函数在点的某一邻域内有定义,如果存在,那么

4、就称这个极限向量为向量值函数在处的导数或导向量,记作或注的三个分量函数都在可导.向量值函数在可导的充要条件:当在可导时,设向量值函数若在中的每一点都存在导向量在上可导.那么就称运算法则(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)设可导,是常向量,是任一常数，则几何意义xyzOr割向量向量向量值函数的终端曲线为空间曲线割向量切向量与t的增长方向一致与t的增长方向相反与t的增长方向一致与t的增长方向一致向量值函数的终端曲线在点M处的一个切向量,其指向与t的增长方向一致.MN指向设一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一

5、、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例例1设求例2例3(1)滑翔机在任意时刻t的速度向量和加速度向量;(2)滑翔机在任意时刻t的速率;(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻.设空间曲线的向量方程为求曲线在与相应的点处的单位切向量.一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而位置向量为的路径螺旋式向上.求多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线过点M与切线垂直的平面空间

6、曲线在点M处的割线的极限位置空间曲线在点M处的切线空间曲线在点M处的法平面xyzOM二、空间曲线的切线与法平面（一）参数式方程的情形（二）一般式方程的情形二、空间曲线的切线与法平面（一）参数式方程的情形（二）一般式方程的情形切线方程M(x0,y0,z0)对应的参数为t0法平面方程切向量注不全为0例4切线方程法平面方程求曲线的切线方程和法平面方程.在点(1,1,1)处例5求螺旋线对应点处的切线方程和在法平面方程.特例视为参数方程参数为x，切线方程法平面方程二、空间曲线的切线与法平面（一）参数式方程的情形（二）一般式方程的情形二、空间曲线的切线与法平面（一）参数式方程的情形（二）一般式

7、方程的情形光滑曲线F,G有对各个变量的连续偏导数在的某邻域内两边对x求导切线方程法平面方程例6求曲线处的切线及法平面方程.在点处多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线（一）隐式方程情形（二）显式方程情形三、曲面的切平面与法线（一）隐式方程情形（二）显式方程情形设有光滑曲面上过点M的任何曲线