高等数学教学教学教案（同济六版）9-11 多元函数微分学地应用习题课.ppt

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1、第十一讲多元函数微分学的应用习题课多元函数微分学应用习题课一、内容小结二、题型练习多元函数微分学应用习题课一、内容小结二、题型练习一、内容小结（一）几何应用（二）方向导数和梯度（三）极值和条件极值一、内容小结（一）几何应用（二）方向导数和梯度（三）极值和条件极值1.一元向量值函数1)概念以三维向量为例2)图形终端曲线为一空间曲线3)极限4)连续5)导数导向量的几何意义向量值函数的终端曲线一个切向量,其指向与t的增长方向一致.在点M处的2.空间曲线的切线与法平面1)参数式情况.切向量2)一般式情况.特例切向量切向量1)隐式情况.法向量3.曲面的

2、切平面与法线2)显式情况.法向量一、内容小结（一）几何应用（二）方向导数和梯度（三）极值和条件极值一、内容小结（一）几何应用（二）方向导数和梯度（三）极值和条件极值1.方向导数单侧极限分子:射线l方向上两点的函数值之差分母:射线l方向上两点的距离注2.梯度方向:大小:方向导数取得最大值的方向注梯度是一个向量方向导数的最大值几何意义与曲线的一个法向量方向一致,由数值低的等值面指向数值高的等值面一、内容小结（一）几何应用（二）方向导数和梯度（三）极值和条件极值一、内容小结（一）几何应用（二）方向导数和梯度（三）极值和条件极值定理1若函数z=f(x

3、,y)在点(x0,y0)存在偏导数,且在该点取得极值,则有:令则:1)当AC－B2>0时,具有极值A<0时取极大值;A>0时取极小值.定理2若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且2)当AC－B2<0时,没有极值3)当AC－B2=0时,不能确定,需另行讨论.多元函数微分学应用习题课一、内容小结二、题型练习多元函数微分学应用习题课一、内容小结二、题型练习二、题型练习（一）几何应用（二）极值和最值二、题型练习（一）几何应用（二）极值和最值例1求椭球面上平行于平面的切平面方程.例2在曲面上求一点，使这点处的法线

4、垂直于平面并写出这法线的方程.例3试证曲面上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.例4证明螺旋线上任一点处的切线与oz轴交成定角.例5证明曲面上任一点的切平面平行于直线例6证明曲面的所有切平面恒与定直线平行.例7使证所有切于曲面的平面都相交于一点.例8试证锥面的所有切平面都通过锥面顶点.二、题型练习（一）几何应用（二）极值和最值二、题型练习（一）几何应用（二）极值和最值例9求由方程所确定的隐函数z=z(x,y)的极值.例10求函数在区域最大值和最小值.上的例11求函数在区域最大值和最小值.上的例12求函数在区域上的最大值.例13求点(

5、a,b,c)到平面的距离.例14求内接于半径为a的球，且有最大体积的长方体.例15例16已知三角形的周长为2p，求出这样的三角形当它绕着自己的一边旋转时所生成的立体体积最大.在曲面上作切平面，使切平面与三坐标面围成的四面体体积最大求切点坐标.例17的最大值.若n个正数之和是a，求函数