高等数学教学讲解教学讲解教案（同济六版）9-3 全微分.ppt

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1、第三讲全微分全微分一、全微分的概念二、全微分的存在条件三、全微分的运算四、全微分的应用全微分一、全微分的概念二、全微分的存在条件三、全微分的运算四、全微分的应用引入一元函数应用近似计算误差估计二元函数？定义注dz的特性Δx与Δy的线性函数与Δz相差一个比ρ高阶的无穷小量A、B的特性与Δx和Δy无关仅与x和y有关设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，如果函数可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记作在点(x,y)处全增量有关，则称函数f(x,y)在点(x,y)可微分，而即全微分一、全微分的概念二、全微分的存在条件三、

2、全微分的运算四、全微分的应用全微分一、全微分的概念二、全微分的存在条件三、全微分的运算四、全微分的应用定理1若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则函数z=f(x,y)在点(x,y)连续.定理2若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则函数z=f(x,y)在点(x,y)的偏导数存在，且有注全微分是唯一的偏导数存在仅是可微的必要条件，而非充分条件.定理2说明例1考察函数在(0,0)处的偏导数与可微性.定理3注偏导数连续仅是可微的充分条件，而非必要条件.例2若函数z=f(x,y)的偏导数在点(x,y)连续则函数z=f(x,y)在该点可微分.考察函数在(0,0)处的偏导数的连续性与可微性

3、.小结几个重要概念间的关系偏导数连续可微连续偏导数存在判断可微的方法用定义用定理3判断不可微的方法用定义用定理1用定理2全微分一、全微分的概念二、全微分的存在条件三、全微分的运算四、全微分的应用全微分一、全微分的概念二、全微分的存在条件三、全微分的运算四、全微分的应用取f(x,y)=x同理将z=f(x,y)的全微分记为:偏微分叠加原理叠加原理也适用于二元以上的函数例如,u=f(x,y,z)例3求函数的全微分.例4求函数在点(2,1)的全微分.全微分一、全微分的概念二、全微分的存在条件三、全微分的运算四、全微分的应用全微分一、全微分的概念二、全微分的存在条件三、全微分的运算四、全微分的应用

4、四全微分的应用(一)近似计算(二)误差估计四全微分的应用(一)近似计算(二)误差估计原理半径由20cm增大到20.05cm,有一圆柱体受压后发生形变,高度由100cm减少到99cm,求此圆柱体体积的近似改变量.例5例6计算的近似值.四全微分的应用(一)近似计算(二)误差估计四全微分的应用(一)近似计算(二)误差估计x,y,z的绝对误差限原理注类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘除后的结果相对误差变大，很小的数不能做除数(1)当时(2)当时