高等数学教学讲解教学讲解教案（同济六版）3-9 曲率.ppt

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1、第九讲曲率曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径规定：设函数f(x)在(a,b)上具有连续导数M0(x0，y0)度量基点M(x，y)曲线上任一点（1）曲线的正向与x增大的方向一致s>0s<0s为x的函数，记为：s(x)s(x)为x的单调增加函数有向弧段的值的方向与曲线的正向相反的方向与曲线的正向一致（2）有向弧段的值为s弧微分x的值：xx+Δx对应的点：MM's(x)为x的单调增加函数弧微分公式曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲

2、率半径描述曲线局部性质（弯曲程度）))弧段弯曲程度越大转角越大转角相同,弧段越短弯曲程度越大)背景定义)yxoMM'切线转角:曲线C在M处的曲率的平均曲率计算公式(1)直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.注C:例1抛物线y=ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大?曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径定义设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为K(K≠0).在点M处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,使以D为圆心,ρ为半径作圆,称为曲线在点M处的曲率圆

3、.其中:D曲率中心ρ曲率半径注1.曲率半径与曲率互为倒数.2.曲率半径越大,曲线越平坦;曲率半径越小,曲线越弯曲.3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧思考椭圆x=2cost，y=3sint上哪些点处曲率最大？解答要使k最大，必有最小，此时k最大，