高等数学教学讲解教学讲解教案（同济六版）10-8 重积分应用.ppt

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1、第八讲重积分的应用能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性分布在有界闭域上的整体量解题步骤明确积分区域确定积分元素列出积分表达式确定积分元素的方法在微小局部以不变代变以直代曲重积分的应用一、曲面面积二、质心三、转动惯量四、引力重积分的应用一、曲面面积二、质心三、转动惯量四、引力处小切平面的面积dAdσdA在D上的投影曲面面积公式处切平面的法向量若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为类似可得例1被柱面所截出的面积A.计算双曲抛物面计算半径为a的球的表面积.例2注(1)可与弧长公式对比记忆!(2)解题步骤:明确(选择)曲面Σ的方

2、程明确(选择)曲面Σ的投影求出曲面面积元素重积分的应用一、曲面面积二、质心三、转动惯量四、引力重积分的应用一、曲面面积二、质心三、转动惯量四、引力设平面有n个质点该质点系的质心坐标第k个质点的位置质点系的质心质量xoy静矩占有xoy面上区域D面密度为μ(x,y)平面薄片的质心设有一平面薄片,xoy在D内任取一点(x,y)面积元素dσ质量元素静矩元素质心坐标当μ(x,y)为常数时平面图形的形心例3和之间均匀薄片的质心.求位于两圆空间物体的质心设物体占有空间域,有连续密度函数物体的质心坐标例4求均匀半球体的质心.重积分的应用一、曲面面

3、积二、质心三、转动惯量四、引力重积分的应用一、曲面面积二、质心三、转动惯量四、引力设平面有n个质点该质点系的转动惯量第k个质点的位置质点系的转动惯量质量xoy占有xoy面上区域D面密度为μ(x,y)平面薄片的转动惯量设有一平面薄片,xoy在D内任取一点(x,y)面积元素dσ质量元素转动惯量元素平面薄片的转动惯量例5求半径为a的均匀半圆薄片对其直径边的转动惯量.空间物体的转动惯量设物体占有空间域,有连续密度函数物体的转动惯量例6求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量.重积分的应用一、曲面面积二、质心三、转动惯量四、引力重积分的应用

4、一、曲面面积二、质心三、转动惯量四、引力G为引力常数设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影空间物体对物体外一质点的引力各引力分量:求半径R的均匀球对位于点的单位质量质点的引力.例7平面薄片对薄片外一质点的引力对xoy面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为例8设面密度为μ,半径为R的圆形薄片求它对位于点处的单位质量质点的引力.。