概率论与数理统计JA(48,33-34).ppt

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1、§4.协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征协方差的定义协方差的性质相关系数的定义相关系数的性质§4协方差第四章随机变量的数字特征一、协方差称COV(X,Y)=E(X–EX)(Y-EY)=EXY–EXEY为随机变量X,Y的协方差.COV(X,X)=DX.称为随机变量X,Y的相关系数。是一个无量纲的量；1）协方差的定义2）相关系数的定义§4协方差第四章随机变量的数字特征证明：EXY=EXEY所以COV(X,Y)=0.由数学期望的性质:定理：若X，Y独立，则X,Y不相关。(反之，不然）称X,Y不相关，此时COV(X，Y)=0.若X，Y独立，注意：若E(X–EX)(Y-EY)则

2、X，Y一定相关，且X，Y一定不独立。即EXY-EXEY二、协方差的性质第四章随机变量的数字特征§4协方差1)COV(X,Y)=COV(Y,X)2)COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)；3)COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);5)X，Y不相关COV(X,Y)=E(X–EX)(Y-EY)三、相关系数的性质证明：令：第四章随机变量的数字特征§4协方差求a，b使e达到最小。令：第四章随机变量的数字特征§4协方差得：第四章随机变量的数字特征返回主目录第四章随机变量的数字特征返回主目录即由上式得:§4协方差现在证明：由上面知此时第四章随机变量的数字特征§4协

3、方差从而所以第四章随机变量的数字特征§4协方差反之，若存在　　使，这时故则故第四章随机变量的数字特征§4协方差说明X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。X与Y不相关，但不一定相互独立。第四章随机变量的数字特征§4协方差返回主目录例1第四章随机变量的数字特征§4协方差返回主目录第四章随机变量的数字特征§4协方差返回主目录由上述知：则：例2设(X，Y)服从二维正态分布，求：第四章随机变量的数字特征§4协方差令：第四章随机变量的数字特征§4协方差返回主目录第四章随机变量的数字特征返回主目录第四章随机变量的数字特征返回主目录故§4协方差例3证明：第四章随机变量的数字特征§

4、4协方差第四章随机变量的数字特征§4协方差2）则根据切比雪夫不等式有3）思考题：1)第四章随机变量的数字特征§4协方差小结：1）协方差的定义和性质；2）相关系数的定义性质；3）不相关的定义及等价条件；4）独立性与不相关性的关系；5）二维正态分布的不相关性与独立性等价。