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1、几何与代数主讲:王小六东南大学线性代数课程回顾作业Page167第2题注意：线性表示=1+2-3也是对的.(批改有错!)Page167第3题记A=(1,2),B=(e1,e2,e3).则AX=B有解<=>向量组B能由向量组A表示.Page167第5题要说明V不是子空间，只要找到一个说明加法或数乘不封闭的例子即可；但要说明V是一个子空间，就需要说明对任意的向量满足加法封闭性；对任意的向量和任意的实数满足数乘封闭性。第四章n维向量第3节子空间的基和维数第四章n维向量§4.3基和维数假设1,2,…,sRn,{
2、k1,k2,…,ksR}skiii=1——由1,2,
3、…,s生成的向量空间,1,2,…,s——生成元.定义记为L(1,2,…,s).一由向量组生成的子空间§4.3子空间的基和维数注:(1)L(1,2,…,s)=L(1,2,…,t)向量组1,2,…,s与1,2,…,t等价.(2)如果A=(1,2,…,s),x=(x1,x2,…,xs)T,则Ax=x11+x22+…+xssL(1,2,…,s)={Ax
4、x∈Rs}R(A)={ηRn
5、存在x∈Rs使得η=Ax}={Ax
6、x∈Rs};Ax=b有解<=>b∈R(A)=L(1,2,…,s)第四章n维向量§4.3基和维数R(A)=L(1,
7、2,…,s)问：反之，如果给定一个子空间V，如何寻找它的生成元呢？第四章n维向量§4.3基和维数一维空间：{x
8、x∈R}二维空间：{(x,y)
9、x,y∈R}三维空间：{(x,y,z)
10、x,y,z∈R}x=x·1(x,y)=x·(1,0)+y·(0,1)(x,y,z)=x·(1,0,0)+y·(0,1,0)+z(0,0,1)(x,y)=m+n(只要,不共线)(x,y,z)=k1+k2+k3(只要,,不共面)第四章n维向量§4.3基和维数二.向量空间的基与维数称1,2,…,r为子空间V的一组基,如果:称r为V的维数.记为r=dim(V).n维基本单位向量组就是R
11、n的一组基,dim{Rn}=n;注(3)零空间没有基,规定dim{0}=0.①1,2,…,r线性无关,②V都能由1,2,…,r线性表示.定义注(2)注(1)子空间的基就是这个子空间的极小生成元集。并且基之间是等价的。第四章n维向量§4.3基和维数定理4.7.1,2,…,s的极大无关组是子空间L(1,2,…,s)的基.自然成立dimL(1,…,s)=r(1,…,s).例求R3的子空间V=xyx+2y-3z=0z的一组基及维数.第四章n维向量§4.3基和维数我们还将会介绍更一般的求解齐次方程组解空间基的方法。例假设向量组1=(1,2,-1),2=(
12、2,-1,3),3=(3,1,2),试求子空间L(1,2,3)的一组基及维数.例假设矩阵试求矩阵A的列空间的一组基及维数.23-11-132A=.联系上例，即可得答案.第四章n维向量§4.3基和维数三.向量在基下的坐标设1,2,…,r是V的一组基,由定义,V,唯一的一组有序实数k1,k2,…,kr使得=k11+k22+…+krr.称{k1,k2,…,kr}T为在1,2,…,r这组基下的坐标.例假设向量组1=(1,2,-1),2=(2,-1,3),3=(3,1,2),试求3在所求的基下的坐标.第四章n维向量§4.3基和维数定义四.基变换与坐
13、标变换设1,2,…,s和1,2,…,s是V的两组基,则存在ss矩阵C使定义第四章n维向量§4.3基和维数1=c111+c212+…+cs1s,2=c121+c222+…+cs2s,……s=c1s1+c2s2+…+csss,称为从基1,2,…,r到1,2,…,r的过渡矩阵C=c11,c12,…,c1sc21,c22,…,c2s……cs1,cs2,…,css设1,2,…,s和1,2,…,s是V的两组基,ss矩阵C是从1,2,…,s到1,2,…,s的过渡矩阵.若两组基是列相向量组，则有(1,2,…,r)=(1
14、,2,…,r)C.可以证明过渡矩阵一定是可逆的.(思考)注：第四章n维向量§4.3基和维数若两组基是行相向量组，则有12…r=CT.12…r定理4.8在2维和3维情形下的叙述：(1)设列向量1,2和1,2是R2的两组基,V在这两组基下的坐标分别为x,y,则=(1,2)x,=(1,2)y.(1,2)x=(1,2)yx=(1,2)-1(1,2)y为何可求逆？第四章n维向量§4.3
