维数基与坐标.docx

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1、第六章线性空间本次课的内容：§3维数•基与坐标§4基变换与坐标变换目的要求：掌握线性空间维数、基与坐标的概念复习：掌握过渡矩阵的概念及坐标变换公式.线性空间定义:（1）设V是非空集合，P是一个数域•"加法（2）V的元素之间定义两种运算丿莎壬数乘例如：V对于加法与数乘封闭，则称V为P上线性空间.pfx]pn,pn>n，…注：§3维数•基与坐标第三章n维向量空间的一切定义与性质可以搬到任意线性空间中定义2（线性组合线性表出）（1）V是数域P中的一个线性空间，⑵k!,k2,,k「P,：1,：2,，:rV,（「一1）,（3）:-=k^k2：2kr：r向

2、量组〉1,〉2,-,亠是一个线性组合。称向量:可以用向量〉1「2,…，〉r线性表出。定义3（等价）设〉1,〉2,…，〉r；（1）-1,'2/','s（2）是V中的两个向量组。如果（1）中的每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么称向量组（1）可以用向量组（2）线性表出。如果（1）与（2）可以互相线性表，那么向量组（1）与（2）称为等价的。定义4线形看见V中向量r,〉2,…，：「（「-1）成为线形相关，如果在数域P中有r个不全为零的数k1,k2,,kr，使心「k2：2亠亠kr：r=0。（3）如果向量〉1」2,…，〉r不线形相关，就称为线形无关。

3、换句话说，向量组〉1,〉2，…r称为线形无关，如果等式（3）只有在匕=k2二…二kr-0时才成立。性质：1.单个向量组□线性相关的充分必要条件是«=0.两个以上的向量«1«2ar线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余的线性组合.2•如果向量组〉1,：・2,…，亠线性无关，而且可以被■-1,■-2/-,■-s线性表出，那么r

4、知道，对于几何空间中的向量，线性无关的向量最多是3个，而任意4个向量都是线性相关的.对于n个元数组所组成的向量空间，有n个线性无关的向量.而任意n+1个向量都是线性相关的.在一个线性空间中，究竟最多能有几个线性武官的向量，显然是线性空间的一个重要属性.我们引入定义5(1)如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，(2)没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的；如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V称为无限维的.问题1:P'xlpn,Pnn，-它们维数各是多少？问题2：n维向量的维数与线性空间的维数区别是什么？无限维空间是一个专门

5、研究的对象，它与有限维空间有比较大的差别.在本课程中，我们主要讨论有限维空间.在解析几何中我们看到，为了研究向量的性质，引入坐标是一个重要的步骤.对于有限维空间，坐标同样是一个有力的工具.］例几何空间中引入了坐标，任意向量可以由极大无关组线性表示3■v2=10+21+302=X11+X21+X3013丿©1<3>1<1>©定义6(1)在n维线性空间V中，n个线性无关的向量jj,…，；n称为V的一组基.(2)设〉是V中任一向量，于是；i,辽,…，；线性相关，因此■■可以被基%；2，…，线性表出：〉=6•a2；2…•an；n，其中系数a!,a2/,

6、an是被向量［和基；i,②…，；n唯一确定的，这组数就称为［在基；!,；2，…,；n下的坐标，记为(ai,a2,,an).问题：(1)基与维数的关系是什么？(2)不知道维数如何确定基的个数？由以上定义看来，在给出的空间V中的一组基之前，必须先确定V的维数.实际上这两个问题是同时解决的.定理1(1)V为线性空间(2)〉1,〉2,…，〉n为线性无关的向量(3)V中任一向量都可以用它们线性表出则V是n维的，而',「2,…，〉n就是V的一个基证明既然宀，：^,…，〉n是线性无关的，那么V的维数至少是n.为了证明V是n维的,只须证V中n+1个向量必定线性

7、相关.设■1,-2^','nd是V中的任意n+1个向量，它们可以用〉1,〉2,…，:线性表出.假如它们线性无关.就有nWn+1,于是得出矛盾.下面我们来看几个例子.例1在线性空间pxn中,2nV1,x,x,,x是n个线性无关的向量，而且每一个次数小于n的数域P上的多项式都可以被它们线性表出，所以PXln是n维的，而1,x,…,xnJ就是它的一组基.n_1在这组基下，多项式f(x)=a。•an」x的坐标就是它的系数(ao,a1,如果在V中取另外一组基；1曰，；2H(X-a),,；nH(X-a)n‘.那么按泰勒展开公式f(x)-f(a)f(a)(x

8、-a)fz(a)(n-1)!(x-nVa)因此,f(x)在基；1,；2,…，；n下的坐标是f(a),f'(a),,(n4)(a)(n-1)!例2在n维