高等代数§6.3维数基与坐标

《高等代数§6.3维数基与坐标》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、线性空间中向量之间的线性关系二、线性空间的维数、基与坐标§6.3维数·基与坐标引入即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？问题Ⅰ如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？（基的问题）问题Ⅱ线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西—数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？（坐标问题）一、线性空间中向量之间的线性关系1、有关定义设V是数域P上的一个线性空间（1）和式的一个线性组合．称为向量组（2），若存在则称向量　可经向量组线性表出；使若向量组　　　　　中每一向量皆可经向量组线性表出，则称向量组可经向量组线性表出；

2、若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价的．（3），若存在不全为零的数，使得则称向量组　　　　　　为线性相关的；（4）如果向量组　　　　　不是线性相关的，即只有在　　　　　　　　　　时才成立，则称为线性无关的．（1）单个向量　线性相关单个向量　线性无关向量组线性相关中有一个向量可经其余向量线性表出．2、有关结论（2）若向量组　　　　　　线性无关，且可被向量组　　　　　　线性表出，则若　　　　　与　　　　为两线性无关的等价向量组，则（3）若向量组　　　　　　线性无关，但向量组线性相关，则　可被向量组线性表出，且表法是唯一的．二、线性空

3、间的维数、基与坐标1、维数定义如果在线性空间中有n个线性无关的向量,没有更多数目的线性无关的向量,那么V称为n维的,若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量,那么就称为无限维的.因为，对任意的正整数n，都有n个线性无关的向量例1所有实系数多项式所成的线性空间R[x]是无限维的.1，x，x2，…，xn－1下面主要讨论有限维线性空间.在n维线性空间V中，n个线性无关的向量2.基坐标，称为V的一组基；下的坐标，记为设为线性空间V的一组基，则数组　　　　　　，就称为在基若有时也形式地记作注意：向量的坐标是被向量和基唯一确定的．即向量在基　　　　　

4、　下的坐标唯一的.但是，在不同基下　的坐标一般是不同的．4、线性空间的基与维数的确定定理：若线性空间V中的向量组满足ⅰ）线性无关；ⅱ）　　　　　可经　线性表出,则V为n维线性空间，　　　为V的一组基．证明：∵线性无关，∴V的维数至少为n．任取V中n＋1个向量　　　，由ⅱ)，向量组可用向量组若　　　　　　　是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．线性表出.∴V中任意n＋1个向量　　　　　　　是线性相关的．故，V是n维的，　　　就是V的一组基．例23维几何空间R3＝是R3的一组基；也是R3的一组基．一般地，向量空间为n维的，就是Pn的一组基．称为Pn的

5、标准基.①n维线性空间V的基不是唯一的，V中任意n个②任意两组基向量是等价的．例3（1）证明：线性空间P[x]n是n维的，且注意：线性无关的向量都是V的一组基．（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－11，x，x2，…，xn－1为P[x]n的一组基．也为P[x]n的一组基．证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的．∴1，x，x2，…，xn－1为P[x]n的一组基，从而，P[x]n是n维的.其次，可经1，x，x2，…，xn－1线性表出．注：在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是此时，（2）1，x－a，(x－a)

6、2，…，(x－a)n－1是线性无关的．又对，按泰勒展开公式有即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐标是注：此时，若把C看成是实数域R上的线性空间呢？而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i就为例4求全体复数的集合C看成复数域C上的线性空间的维数与一组基；解：复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的一组基；它的一组基．注：任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，数1就是它的一组

7、基.例5.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里解:①下证　　　　线性无关.设得齐次线性方程组其系数行列式②∴方程组②只有零解：故　　　　线性无关.又由①知，任意均可表成　　　　的线性组合，所以V为三维线性空间，　　　　就是V的一组基.