第六章 线性空间 §3 维数 基与坐标

《第六章 线性空间 §3 维数 基与坐标》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第六章线性空间§3维数基与坐标一、线性变换的定义Definition21.线性组合设V是数域P上的一个线性空间，是一组向量,是数域P中的数，那么向量称为向量组的一个线性组合，有时也说向量可以用向量组线性表出.2.等价定义3设(1)(2)是V中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的.3．线性相关与线性无关定义4线性空间中向量称为线性相关，如果在数域中有r个不全为零的数使.(3)如果向量不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量

2、组称为线性无关，如果等式（3）只有在时才成立.4．几个常用的结论(1)单个向量线性相关的充要条件是.两个以上的向量线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.(2)如果向量组线性无关，而且可以被线性表出，那么.由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量.(3)如果向量组线性无关，但线性相关，那么可以由被线性表出，而且表示法是唯一的.二、维数与基定义5如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么就称V为n维的；如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就称V为无限维的.1.维数2.基与坐标定义6在

3、n维线性空间V中，n个线性无关的向量称为V的一组基.设是中任一向量，于是线性相关，因此可以被基线性表出：其中系数是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，记为.例1在中,求向量在基下的坐标.例2求下列线性空间的一组基并指出其维数.(1)数域F上多项式的所有倍式构成的空间.(2),A为数域F上矩阵,X为数域F上n维列向量.(3)数域上全体形如的二阶方阵,对矩阵加法与矩阵的乘法所作成的线性空间.定理1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，且V中任一向量都可以用它们线性表出，那么V是n维的，而就是的一组基.例3在线性空间中，是个线性无关的向量，而且每一个次

4、数小于n的数域P上的多项式都可以被它们线性表出，所以是n维的，而就是它的一组基Example4在n维空间中，显然是一组基.对于每一个向量,都有.所以就是向量在这组基下的坐标.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组.但线性变换把线性无关的向量组可能变成线性相关的向量组.例如零变换就是如此.Property3谢谢,再见!