维数基与坐标课件.ppt

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1、§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间一、线性空间中向量之间的线性关系二、线性空间的维数、基与坐标§6.3维数·基与坐标引入即线性空间的构造如何?怎样才能便于运算?问题Ⅰ如何把线性空间的全体元素表示出来?这些元素之间的关系又如何呢?(基的问题)问题Ⅱ线性空间是抽象的,如何使其元素与具体的东西—数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达?(坐标问题)一、线性空间中向量之间的线性关系1、有关定义设V是数域

2、P上的一个线性空间(1)和式的一个线性组合.称为向量组(2),若存在则称向量 可经向量组线性表出;使若向量组     中每一向量皆可经向量组线性表出,则称向量组可经向量组线性表出;若两向量组可以互相线性表出,则称这两个向量组为等价的.(3),若存在不全为零的数,使得则称向量组      为线性相关的;(4)如果向量组     不是线性相关的,即只有在          时才成立,则称为线性无关的.(1)单个向量 线性相关单个向量 线性无关向量组线性相关中有一个向量可经其余向量线性表出.2、有关结论(2)若向量组      线性无关,

3、且可被向量组      线性表出,则若     与    为两线性无关的等价向量组,则(3)若向量组      线性无关,但向量组线性相关,则 可被向量组线性表出,且表法是唯一的.因为,对任意的正整数n,都有n个线性无关的向量1、无限维线性空间若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量,则称V是无限维线性空间.例1所有实系数多项式所成的线性空间R[x]是无限维的.1,x,x2,…,xn-1二、线性空间的维数、基与坐标2、有限维线性空间n维线性空间;常记作dimV=n.(1)n维线性空间:若在线性空间V中有n个线性无关的向量,但是任

4、意n+1个向量都是线性相关的,则称V是一个注:零空间的维数定义为0.dimV=0V={0}在n维线性空间V中,n个线性无关的向量(2)基,称为V的一组基;下的坐标,记为(3)坐标设为线性空间V的一组基,则数组      ,就称为在基若有时也形式地记作注意:向量的坐标是被向量和基唯一确定的.即向量在基      下的坐标唯一的.但是,在不同基下 的坐标一般是不同的.3、线性空间的基与维数的确定定理:若线性空间V中的向量组满足ⅰ)线性无关;ⅱ)     可经 线性表出,则V为n维线性空间,   为V的一组基.证明:∵线性无关,∴V的维数

5、至少为n.任取V中n+1个向量   ,由ⅱ),向量组可用向量组若       是线性无关的,则n+1≤n,矛盾.线性表出.∴V中任意n+1个向量       是线性相关的.故,V是n维的,   就是V的一组基.例23维几何空间R3=是R3的一组基;也是R3的一组基.一般地,向量空间为n维的,就是Pn的一组基.称为Pn的标准基.①n维线性空间V的基不是唯一的,V中任意n个②任意两组基向量是等价的.例3(1)证明:线性空间P[x]n是n维的,且注意:线性无关的向量都是V的一组基.(2)证明:1,x-a,(x-a)2,…,(x-a)n-1

6、1,x,x2,…,xn-1为P[x]n的一组基.也为P[x]n的一组基.证:(1)首先,1,x,x2,…,xn-1是线性无关的.∴1,x,x2,…,xn-1为P[x]n的一组基,从而,P[x]n是n维的.其次,可经1,x,x2,…,xn-1线性表出.注:在基1,x,x2,…,xn-1下的坐标就是此时,(2)1,x-a,(x-a)2,…,(x-a)n-1是线性无关的.又对,按泰勒展开公式有即,f(x)可经1,x-a,(x-a)2,…,(x-a)n-1线性表出.∴1,x-a,(x-a)2,…,(x-a)n-1为P[x]n的一组基.在基1

7、,x-a,(x-a)2,…,(x-a)n-1下的坐标是注:此时,若把C看成是实数域R上的线性空间呢?而实数域R上的线性空间C为2维的,数1,i就为例4求全体复数的集合C看成复数域C上的线性空间的维数与一组基;解:复数域C上的线性空间C是1维的,数1就是它的一组基;它的一组基.注:任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的,数1就是它的一组基.解:令则是线性无关的.事实上,由,即有又对,有例5求数域P上的线性空间  的维数和一组基.是 的一组基, 是4维的.∴矩阵在基 下的坐标就是一般地,数域P上的全体  矩阵构成的线性空间为  维的

8、,注:就是的一组基.矩阵单位下的坐标,其中解:设,则有线性方程组解之得,.∴ξ在基下的坐标为.例6在线性空间 中求向量     在基练习1.已知全体正实数R+对于加法与数量乘法:构成实数域R上的线性空间,求R+的维数与一组基.2.求实

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