向量空间的基维数与坐标ppt课件.ppt

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1、1第三节向量空间的基、维数与坐标一向量空间二向量空间的基、维数与坐标三基变换与坐标变换四小结12说明一、向量空间定义3.18设是非空维向量的集合，若对于向量的加法及向量乘数两种运算封闭，则称为一个向量空间．集合对于加法及乘数两种运算封闭是指2334例2判别下列集合是否为向量空间.解45例3判别下列集合是否为向量空间.解对数乘不封闭，同样可证对加法也不封闭.56那末，向量组就称为向量空间　的一组基，称为向量空间的维数，并称为维向量空间．二、向量空间的基、维数与坐标定义3.19设是向量空间，如果个向量且满足（1）线性无关；（2）中任一向量都可由线性表示.67（1）只含有零向量的向量空间称为0维向

2、量空间，因此它没有基．说明（3）若向量组是向量空间的一个基，则可表示为（2）若把向量空间看作向量组，那末的基就是向量组的极大无关组,的维数就是向量组的秩.78若是向量空间的一组基，则对存在唯一一组有序数使得称为向量在基下的坐标记为89特别，若是向量空间的一组基，且为单位向量，称为V的一组规范基.且两两正交，则称为V的一组正交基；若两两正交910空间的一组规范基为向量在此规范基下的坐标为因为1011例4设证明是的一组基并求关于基的坐标.解1112所以因此在基下的坐标为由行阶梯矩阵知且线性无关,知其为的一组基,进一步将A变成行最简形：1213试判断集合V是否为向量空间.1314一般有1415三、基

3、变换与坐标变换由基的定义可知向量空间中的基不唯一，由基的变化，相应的引起同一向量坐标的变化.两组基的变换公式表示的两组基，则后一组基可由前一组基唯一线性设与是维向量空间1516其矩阵形式为：由基到基的过渡矩阵前面已经提到：对于同一向量，基的不同，可能引起坐标的变化，那么它们会怎样变化呢？（1）称为1617设向量在上述两组基下的坐标分别为和即1718将（1）式代入上面方程得1819所以有或（2）上式就是在两组基下的坐标变换公式.1920例6设中的两组基：求基（1）到基（2）的过渡矩阵，并求坐标变换公式.解取中的第三组基为规范基则有2021其中由有2122所以过渡矩阵.通过计算可得:所以2223若

4、在基（1）下的坐标为，在基（2）下的坐标为，则由坐标变换公式有即2324四、小结1.向量空间的基、维数与坐标的定义2.向量坐标的求法3.基变换与坐标变换2425作业P10425.25