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1、二、向量空间的基与维数定义9设V为向量空间，如果r个向量α1,α2,…,αr∈V,且满足(1)α1,α2,…,αr线性无关；(2)V中任一向量都可由α1,α2,…,αr线性表示，那末，向量组α1,α2,…,αr就称向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维的向量空间。1、如果向量空间V没有基，那末V的维数为0。2、0维的向量空间只含有一个零向量0。3、若把向量空间V看作向量组，则V的基就是向量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。4、V0={x=(0,x2,…,xn)T
2、x2,…,xn∈R}
3、的一个基为：所以V0是一个n－1维的向量空间。5、由向量组α1,α2,…,αm所生成的向量空间V={x=λ1α1+λ2α2+…+λmαm
4、λ1,λ2,…,λm∈R}。显然，向量空间V与向量组α1,α2,…,αm等价，所以向量组α1,α2,…,αm的极大无关组就是V的一个基，α1,α2,…,αm的秩就是V的维数。6、若向量空间V⊂Rn,则V的维数不会超过n。并且，当V的维数为n时，V=Rn。7、若向量组α1,α2,…,αr是向量空间V的一个基，则V可表示为V={x=λ1α1+λ2α2+…+λrαr
5、λ1,λ2
6、,…,λr∈R}。这就清楚地显示出一个向量空间V的构造。例6设A=(α1,α2,α3)=B=(b1,b2)=验证α1,α2,α3是R3的一个基，并把b1,b2用这个基线性表示.解要证α1,α2,α3是R3的一个基，只需证α1,α2,α3线性无关，即证A~E即可。设b1=x11α1+x21α2+x31α3b2=x12α1+x22α2+x32α3即(b1,b2)＝(α1,α2,α3)记作B=AX。对矩阵（A
7、B）施行初等行变换，若A能变为E，则α1,α2,α3为R3的一个基，且当A变成E时，B变为X=A-1B.
8、(A
9、B)=显然，A~E，故α1,α2,α3是R3的一个基，且(b1,b2)＝(α1,α2,α3)三、过渡矩阵与坐标变换1、过渡矩阵设n维向量空间V的两组基为A:α1,α2,…,αnB:β1,β2,…,βn由于A组基与B组基等价，所以即(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)C.称矩阵C为由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的过渡矩阵。其中C=v=(α1,α2,…,αn)=(α1,α2,…,αn)C从而，得或例7已知R3的两组基分别为A:B:且由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的
10、过渡矩阵为求a、b、c、及x、y、z。解由基变换公式根据矩阵相等，其对应的元素相等得作业、129页13、16题。
