第5节 线性子空间的基与维数

《第5节 线性子空间的基与维数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§5线性子空间的基与维数重点1、线性空间基、维数、坐标的概念一、线性子空间基的定义与判定2、基的判定方法设W是线性空间V的一个线性子空间，定义5.13、线性空间基的性质向量组称为W的一个基，W的如果它满足（1）W的每个向量都可由线性表示；（2）W的每个向量由线性表示唯一。注释1设是线性子空间W的一个基，对任意的向量令称有序数组是在基下坐标.（1）由上面定义知零子空间没有基。（2）线性子空间中一个基的向量是有序的。（3）线性空间的基是线性空间的一个框架，表示空间的每个向量，它能也就确定了空间的结构。（4）直观上将，基就是“最大”线性无关向量组。如何判定一个向

2、量组是否是线性子空间的基呢？命题5.1设W是线性空间V的一个线性子空间，向量组是W的一个基，W的当且仅当它满足（1）W的每个向量都可由线性表示；上面命题5.1的条件（2）（线性无关）代替了定义5.1的条件（2）（表示唯一），因此由命题3.3即可证明该结论（2）线性无关。例5.1显然因此，由例3.7知向量组线性无关。证明下面向量组是线性空间的一个基，并且求向量在该基下坐标。证明令解得坐标为即任意向量都可由线性表示。由命题5.1知是一个基且向量坐标为几个例子表明：线性空间的基不是唯一的，基中的向量是有序的。注释2例子表明线性空间一定有基。（1）一般线性子空间一

3、定有基吗？（2）基中向量个数都相等吗？（3）线性子空间中的基个数有限还是无限？引理5.2设与是线性空i)向量组可经线性表出；则向量组必线性相关。ii)间V的两个向量组，如果两个向量组满足二、线性子空间基的性质要证线性相关，使得证明由条件i)，作线性组合令即证有不全为零的数常数如果能找到不全为0的，显然这组不全为0的数也使从而线性相关。把它看成一个方程组，看它有无非零解使由条件ii)，所以它有非零解。的个数s，该方程组中方程的个数r＜未知量已经知道线性空间的一个基。对的任意向量组由于中每个向量都可由线性表示，于是由命题5.2知线性相关。推论5.3中线性无关的

4、像两个数不超过n.事实上线性无关向量个数恰好是n定理5.4数域K上n维向量空间V的每个非0子空间W都存在基。证明令是W的一个线性无关向因为W是非0子空间，所以W存在线性无关的向量组。量组，满足对W的任意向量向量组都线性相关。于是可由线性表示，因此，是W的一个基。注释3教材求的过程类似一个“算法”，该过程可转化为矩阵来实现。引理5.2可等价的表述为引理5.2设与是线性空i)向量组可经线性表出；ii)向量组线性无关,间V的两个向量组，如果两个向量组满足则推论5.5设W数域K上n维向量空间V的子空间,则W的所有基都包含相同个数的向量。证明由于B可由A线性表示并且

5、B线性无关，假设下面是W的两个任意基于是由于A可由B线性表示并且A线性无关，于是因此，定义5.2设W数域K上n维向量空间V的非0子空间,则W的一个基包含的向量个数成为W的维数。特别规定零子空间的维数为0.利用线性子空间的维数定义向量组的秩如下定义5.3设是向量空间V上的向量，称的维数为向量组的秩。注释4零子空间是维数等于0的唯一子空间。线性子空间的维数就是线性无关向量的最大个数。从维数的定义可以得到下面几个显然的结论。命题5.7设W和Z都是线性空间V的子空间，设W数域K上n维向量空间V的r维子空间,则W的任意r个线性无关向量都构成W的一个基。命题5.6并且

6、则命题5.8设W和Z都是线性空间V的子空间，如果且则例5.2（Ex3）下面的证明方法类似引理5.2。考虑下面的线性表示于是线性无关因此，得到线性无关只有零解只有零解作业：P168Ex1,2(2)