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1、6.2维数、基、坐标向量的线性相关、线性无关线性空间的维数、基、坐标一.向量的线性相关（无关）*不经声明，v均表示数域P上的线性空间.二.维数、基、坐标定义5V中有n个线性无关的向量，且无多余n个的向量线性无关，则称V是n维的记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性无关，则称V是无限维的，记成dimV=∞.线性空间V的维数即V作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组所含向量的个数.例1(1)V2：两相交矢量确定此平面→dimV2=2；V3：三相交矢量确定此空间→dimV3=3.(2)Pn={(a1
2、,a2,…,an)
3、ai∈P,i=1,2,…,n}是n维的，e1,e2,…,en是Pn的一个极大无关组.(3)R[x]={f(x)
4、f(x)是实系数多项式}.当f(x)=a0+…+anxn,且k0+…+knxn=0时有k0==kn=0成立，故1,x,…,xn,…是R[x]的一个极大无关组→dimR[x]=∞.本教材仅讨论无限维线性空间.定义6dimV=n，如果ε1，ε2，…,εn线性无关，则称ε1,ε2,…,εn为V的一组基（或一个基）；α∈V，α＝a1ε1+a2ε2+…+anεn,称a1,a2,…,
5、an为α在基ε1，ε2，…,εn下的坐标，记为（a1,a2,…,an）.基是V中一个极大无关组→V中有多个基，但维数是唯一确定的；对任意的α∈V，α可由基ε1，ε2，…,εn唯一线性表示→（这即说：向量α在该基ε1，ε2，…,εn下的坐标唯一确定）.证明：据维数及基的定义→α，ε1，ε2，…,εn线性相关，即存在不全为0的b1,b2,…,bn,使b1ε1+b2ε2+…+bnεn+bn+1α=0→bn+1≠0(否则，由ε1，ε2，…,εn线性无关将推出b1=b2=…=bn=0，矛盾)→α=bn+1-1(
6、(-b1)ε1+…+(-bn)εn)=a1ε1+a2ε2+…+anεn,即α可由基ε1，ε2，…,εn线性表示.设α＝a1ε1+a2ε2+…+anεn＝b1ε1+b2ε2+…+bnεn→(a1-b1)ε1+(a2-b2)ε2+…+(an-bn)εn＝0→由基ε1，ε2，…,εn线性无关可知ai=bi(i=1,2,…,n),即表示唯一.□基相当于V中的一个度量标准，坐标是V中客观对象（即向量）在给定标准下的一种量的刻画.定理1α1,α2,…,αn是V的基α1,α2,…,αn线性无关，且对任意的α∈V，α
7、可由α1,α2,…,αn线性标出.6.1.作业习题解疑：P267.习题3（5）：
