基变换与坐标变换

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1、§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和第六章线性空间§6.4基变换与坐标变换一、基变换§6.4基变换与坐标变换二、坐标变换§6.4基变换与坐标变换引入n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的．因此如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何

2、变化的.§6.4基变换与坐标变换1、定义设V为数域P上n维线性空间，　　　　　；为V中的两组基，若①即，一、基变换§6.4基变换与坐标变换则称矩阵为由基　　　　　到基　　　　　的过渡矩阵（transitionmatrix）；称①或②为由基　　　　　到基的基变换公式．②§6.4基变换与坐标变换2、有关性质（1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．证：若　　　　　　　　　　　为V的两组基,且由基　　　　　　　　　　　的过渡矩阵为A，即③§6.4基变换与坐标变换又由基　　　　　　　　　　　也有一个过渡矩阵,设为B，即④比较③、

3、④两个等式，有都是线性无关的,即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.§6.4基变换与坐标变换反过来，设　　　　　为P上任一可逆矩阵，任取V的一组基于是有，由A可逆，有即，　　　　也可由　　　　　线性表出.§6.4基变换与坐标变换故　　　　　线性无关，从而也为V的一组基.并且A就是　　　　　　　　　　的过渡矩阵.（2）若由基　　　　　　　　　　　过渡矩阵为A,则由基　　　　　　　　　　　过渡矩阵为A-1.§6.4基变换与坐标变换（3）若由基　　　　　　　　　　　过渡矩阵为A,由基　　　　　　　　　　　过渡矩阵为B，则由基　　　　　　　　　　　过渡矩阵为AB.证：若则

4、有，§6.4基变换与坐标变换二、坐标变换⑤1、定义为V中的两组基，且V为数域P上n维线性空间，§6.4基变换与坐标变换设　　且ξ在基　　　　　与基下的坐标分别为　　　　　　与　　　　　　，即，与§6.4基变换与坐标变换则或称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．⑥⑦§6.4基变换与坐标变换例1在Pn中，求由基到基渡矩阵．其中的过渡矩阵及由基到基的过并求向量在基下的坐标.§6.4基变换与坐标变换解：∴∵§6.4基变换与坐标变换而§6.4基变换与坐标变换到基由基的过渡矩阵为故由基到基的过渡矩阵为§6.4基变换与坐标变换在基　　　　　下的坐标就是设　在基　　　

5、　　下的坐标为　　　　　　，则所以　在基　　　　　下的坐标为