第三节 基变换与坐标变换.doc

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1、第三节基变换与坐标变换选定维线性空间中的一组基,则与之对的从到上的坐标映射就确定了上的一个坐标系,中的每个向量均可由它的坐标向量唯一确定.在某些应用中,问题最初可能用基来描述,但解答它却需要将转化成新的基.这样每个向量就指派了一个在基下的新的坐标向量.本节中,我们将探讨中的两个非自然基之间的变换公式与向量在不同基下的坐标变换关系.分布图示★引言★基变换公式与过渡矩阵★例1★例2★坐标变换公式★例3★例4★例5★内容小结★课堂练习★习题6-3内容要点一、基变换公式与过渡矩阵设是线性空间的两个基，且有==或=其中，矩阵称为由基到基的过渡矩阵.并且过渡矩阵可逆.二、坐标变换公式定理1设

2、中的元素,在基下的坐标为在基下的坐标为若两个基满足关系式=则有坐标变换公式=或=(2)例题选讲例1设为线性空间的一组基,为一个二阶可逆矩阵,令，显然也线性无关，因此也是一组基,且即是由基到的过渡矩阵.特别地，若取中的标准基则有得到的令一组基,它正是可逆矩阵的列向量组.例2(E01)已知的两组基和,试求到的过渡矩阵.解由题意知,将添加到系数矩阵中,并进行初等行变换:故所求的过渡矩阵.注:例2中过渡矩阵的求法可以推广到.设是线性空间的两个基,通过初等行变换:,可以得到的过渡矩阵.例3设为的一个基,试求，关于该基的坐标.解的标准基为显然有即其中就是由标准到基的过渡矩阵.设关于基的坐标为

3、则有即关于基的坐标为例4(E02)在中取两个基及+求坐标变换公式.解将用表示.因为其中得用初等行变换求初等行变换故所求变换公式为例5(E03)坐标变换的几何意义.设及为线性空间的两个基.又设求在下的坐标.解在下的坐标为,又由坐标变换公式可知,在基下的坐标为即注:例3中的求法可以推广到.设是线性空间的两个基,的过渡矩阵.已知向量在基下的坐标,则在基下的坐标.课堂练习证明是的一个基，并求多项式在这个基下的坐标.