2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程学案.docx

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1、2．4．1　抛物线及其标准方程　1．理解抛物线的定义、标准方程及其中p的几何意义．　2．已知抛物线的标准方程，能够熟练地写出它的焦点坐标和准线方程．　3．掌握抛物线方程的四种标准形式，会用待定系数法求抛物线的标准方程．1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹．(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点．(3)准线：直线l叫做抛物线的准线．定点F不能在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线．2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p＞0)x＝－y2＝－2px(p＞0)x＝

2、x2＝2py(p＞0)y＝－x2＝－2py(p＞0)y＝(1)抛物线的焦点所在轴(x轴、y轴)由标准方程中的一次项来确定，开口方向(向左、向右、向上、向下)由一次项系数的符号来确定，可简记为“对称轴要看一次项，符号决定开口方向”．(2)“p”是抛物线的焦点到准线的距离，所以p>0．特别注意，当抛物线标准方程中的一次项系数为负时，不要出现p<0的错误．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　)(2)抛物线的方程都是y关于x的二次函数．(　　)(3)方程x2＝2ay(a≠0)是表示开口向上的抛物线．(　　)答案：

3、(1)×　(2)×　(3)×抛物线x2＝4y的准线方程是(　　)A．x＝1　　　　　　　　　　B．x＝－1C．y＝1D．y＝－1答案：D设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　)A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x答案：B以F为焦点的抛物线的标准方程是________．答案：x2＝－3y探究点1　求抛物线的标准方程　试求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(－3，2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．【解】　(1)因为点(－3，2)在第二象限，所以抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>

4、0)．把点(－3，2)的坐标分别代入y2＝－2px(p>0)和x2＝2py(p>0)，得4＝－2p×(－3)或9＝2p·2，即2p＝或2p＝．所以所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y．(2)令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4．故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，＝4，即2p＝16，此时抛物线方程为y2＝16x．当焦点为(0，－2)时，＝2，即2p＝8，此时抛物线方程为x2＝－8y．故所求的抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤[注意]　当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x

5、2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．　　分别根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)准线方程为y＝；(2)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5．解：(1)因为抛物线的准线平行于x轴，且在x轴上面，且＝，则p＝．所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y．(2)由焦点到准线的距离为5，知p＝5，又焦点在x轴负半轴上，所以所求抛物线的标准方程为y2＝－10x．探究点2　抛物线定义的应用　(1)若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线

6、准线的距离之和的最小值．【解】　(1)设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1．因为两圆外切，所以

7、MC

8、＝R＋1．又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R．所以

9、MC

10、＝d＋1．即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，故其方程为y2＝8x．(2)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P点、(0，2)点和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝

11、＝．1．[变条件]若将本例(2)中的点(0，2)改为点A(3，2)，求

12、PA

13、＋

14、PF

15、的最小值．解：将x＝3代入y2＝2x，得y＝±．所以A在抛物线内部．设P为其上一点，P到准线(设为l)x＝－的距离为d，则

16、PA

17、＋

18、PF

19、＝

20、PA

21、＋d．由图可知，当PA⊥l时，

22、PA

23、＋d最小，最小值是．即

24、PA

25、＋

26、PF

27、的最小值是．2．[变条件]若将本例(2)中的点(0，2)换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．解：如图．作PQ垂直于准线l于点Q，

28、PA1

29、＋

30、PQ

31、＝

32、PA1