高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程学案含解析

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1、2．4.1　抛物线及其标准方程抛物线的定义[提出问题]如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：

2、DA

3、是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．问题2：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：

4、DA

5、＝

6、DC

7、.问题3：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线．[导入新知]抛物线的定义平面内与一

8、个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．[化解疑难]对抛物线定义的认识(1)定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)注意定点F不在直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．抛物线的标准方程[提出问题]平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－2,0)；l1：x＝－

9、1，l2：x＝2.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹是什么？对应方程是什么？提示：抛物线；y2＝4x.问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？12提示：y2＝－8x.[导入新知]　抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p＞0)x＝－y2＝－2px(p＞0)x＝x2＝2py(p＞0)y＝－x2＝－2py(p＞0)y＝[化解疑难]1．标准方程特征：等号一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一变量的一次项．2．标准方程中p表示焦点到准线的距离，p的值永远大于

10、零．3．四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.求抛物线的焦点及准线[例1]　求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a＞0)．[解]　(1)因为p＝7，所以焦点坐标是，准线方程是x＝.(2)抛物线方程化为标准形式为x2＝y，因为p＝，所以焦点坐标是，准线方程是y＝－.12(3)由a＞0知p＝，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－.[类题通法

11、]已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程．需注意p＞0，焦点所在轴由标准方程一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．[活学活用]求抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标和准线方程．解：把抛物线方程y＝ax2化成标准方程x2＝y.当a＞0时，焦点坐标是，准线方程是y＝－；当a＜0时，焦点坐标是，准线方程是y＝－.综上知，所求抛物线的焦点坐标为，准线方程为y＝－.求抛物线的标准方程[例2]　求适合下列条件的抛物线的标准方

12、程：(1)过点M(－6,6)；(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．[解]　(1)由于点M(－6,6)在第二象限，∴过M的抛物线开口向左或开口向上．若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y2＝－2px(p＞0)，将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)，将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y

13、.(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，∴抛物线的焦点是F(2,0)，∴＝2，∴p＝4，12∴抛物线的标准方程是y2＝8x.②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，即抛物线的焦点是F(0，－3)，∴＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.[类题通法]求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；②直

14、接根据定义求p，最后写标准方程；③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数．[活学活用]根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝－1；(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.(1)由准线方程为y＝－1知抛物线焦点在y轴正半轴上，且＝1，则p＝2.故抛物线的标准方程为x2＝4y.(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点坐标为，准线为x