2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程练习.docx

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1、2.4.1抛物线及其标准方程[A　基础达标]1．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为(　　)A．y2＝x或x2＝－8yB．y2＝x或y2＝8xC．y2＝－8xD．x2＝－8y解析：选A．因为点P在第四象限，所以抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x．当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y．2．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px(p>0)上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为(　　)A．2　

2、　　　　　　　　B．4C．8D．16解析：选B．由题意可知准线方程为x＝－p，所以8＋p＝10，所以p＝2．所以焦点到准线的距离为2p＝4．3．动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是(　　)A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线解析：选D．依题意可知动点P(x，y)在直线右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则

3、PF

4、＝d＋1，所以动点P到F(3，0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线，故选D．4．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，

5、AF

6、＋

7、BF

8、＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为　(

9、　　)A．B．1C．D．解析：选C．过A，B分别作y轴的垂线，根据抛物线的定义与梯形中位线定理，得线段AB的中点到y轴的距离为(

10、AF

11、＋

12、BF

13、)－＝－＝．5．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是(　　)解析：选D．a2x2＋b2y2＝1其标准方程为＋＝1，因为a>b>0，所以<，表示焦点在y轴上的椭圆；ax＋by2＝0其标准方程为y2＝－x，表示焦点在x的负半轴的抛物线．6．已知双曲线－y2＝1的右焦点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则m＝________．解析：由题意得m＋1＝22，解得m＝3．答案：37．已知圆x2＋y

14、2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________．解析：由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x＝－，由题意知3＋＝4，所以p＝2．答案：28．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．解析：由方程y2＝－12x，知焦点F(－3，0)，准线l：x＝3．设所求点为P(x，y)，则由定义知

15、PF

16、＝3－x．又

17、PF

18、＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6．所以所求点的坐标为(－6，6)，(－6，－6)．答案：(－6，6)，(－6，－6)9．

19、根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，

20、AF

21、＝5．解：(1)由双曲线方程得－＝1，其左顶点为(－3，0)．因此抛物线的焦点为(－3，0)．设其标准方程为y2＝－2px(p>0)，则＝3．所以p＝6．因此抛物线的标准方程为y2＝－12x．(2)当抛物线开口向右时，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，A(x0，－3)，依题意得解得p＝1，或p＝9．当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，A(x0，－3)，依题意得解得p＝1或p＝9

22、．综上所述，所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x．10．某河上有座抛物线形拱桥，当拱桥高5m时，桥洞水面宽为8m，每年汛期，船工都要考虑拱桥的通行问题．一只宽4m，高2m的装有防汛器材的船，露出水面部分的高为m，要使该船能够顺利通过拱桥，试问水面距离拱顶的高度至少为几米？解：以抛物线形拱桥的拱顶为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设当水面涨到与抛物线拱顶相距hm时，船恰好能通过．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，因为A(4，－5)在抛物线上，所以42＝－2p×(－5)，得p＝，故x2＝－y．当船恰好能通过时，设船宽等于BB′，则点B的横坐标为2，代入x

23、2＝－y，得点B的纵坐标y′＝－，所以h＝

24、y′

25、＋＝＋＝2，因此，水面距离拱顶至少2m，船才能顺利通过此桥．[B　能力提升]11．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P(xP，yP)为C上一点，若

26、PF

27、＝4，则△POF的面积为(　　)A．2B．2C．2D．4解析：选C．由题意知抛物线的焦点为F(，0)，准线为x＝－．设点P在抛物线准线上的投影为点M．由抛物线的定义知

28、PF

29、＝

30、PM

31、，又

32、PF

33、＝4，所以xP＝3，代入抛物线方程求得

34、yP

35、＝2，所以S△POF＝·

36、OF

37、·

38、yP

39、＝2．12．抛物