江苏专用2018_2019学年高中数学圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程学案苏教版

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1、2.4.1　抛物线的标准方程学习目标：1.掌握抛物线的标准方程．(重点)　2.掌握求抛物线标准方程的基本方法．[自主预习·探新知]抛物线的标准方程标准方程y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2py图形焦点坐标准线方程x＝－x＝y＝－y＝开口方向向右向左向上向下[基础自测]1．判断正误：(1)标准方程y2＝2px(p＞0)中p的几何意义是焦点到准线的距离．(　　)(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．(　　)(3)x2＝－2y表示的抛物线开口向左．(　　)【解析】　(1)√.抛物线y2＝2px(p＞0)的焦

2、点为，准线为x＝－，故焦点到准线的距离是p.(2)√.一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确．(3)×.x2＝－2y表示的抛物线开口向下．【答案】　(1)√　(2)√　(3)×2．焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为________．【解析】　由题意知p＝2×2＝4，焦点在y轴正半轴上，∴方程为x2＝2×4y，即x2＝8y.【答案】　x2＝8y[合作探究·攻重难]求抛物线的标准方程　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)

3、焦点在直线x＋3y＋15＝0上.【导学号：95902128】[思路探究]　→→→【自主解答】　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)．又－＝－2，所以2p＝8，故抛物线的标准方程为x2＝8y.(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x

4、2＝－y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.[规律方法]　求抛物线方程的主要方法是待定系数法(1)若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可；(2)若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.注意：焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0).[跟踪训练]1．(1)焦点在x轴上，且焦点在双曲线－＝1上的抛物线的标准方程为_______

5、_．(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋16y2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为__________．【解析】　(1)由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，则焦点为.∵焦点在双曲线－＝1上，∴＝1，求得m＝±4，∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.(2)椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在y轴上，∴抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的标准方程为x2＝2py或x2＝－2py(p＞0)，由抛物线焦点到顶点的距离为3得＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝

6、－12y.【答案】　(1)y2＝8x或y2＝－8x　x2＝12y或x2＝－12y由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程　求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y＝x2；(2)x＝y2(a≠0).【导学号：95902129】[思路探究]　→→【自主解答】　(1)抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y，所以p＝2，所以焦点坐标是(0,1)，准线方程是y＝－1.(2)抛物线x＝y2的标准形式为y2＝ax，所以p＝，故焦点在x轴上，坐标为，准线方程为x＝－.[规律方法]　求抛物线焦点坐标和准线方程的步骤：[跟踪训练]2．求抛物线ay2＝x

7、(a≠0)的焦点坐标与准线方程．【解析】　把抛物线ay2＝x(a≠0)方程化为标准形式为y2＝x，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为x＝－.抛物线的定义及标准方程的应用[探究问题]1．抛物线定义是什么？能否用数学式表示抛物线的定义？【提示】　平面内到一定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．设抛物线上任意一点P，点P到直线l的距离为PD，则抛物线的定义可表示为PF＝PD.2．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P的横坐标为x0，那么点P到其焦点F的距离是什么？【提示】　抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程

8、为x＝－，根据抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以点P到其焦点F的距离为PF＝x0－＝x0＋.3．探究2中得到的用点P的横坐标表示其到焦点的距离的公式称为抛物线的焦半径公式，对于其它三种形式的方程的焦半径公式是什么？【提