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时间:2020-03-10
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1、2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题1.已知函数有最小值,则函数的零点个数为()A.B.C.D.取决于的值2.已知的三个内角所对的边分别为.下列条件中,能使得的形状唯一确定的有()A.B.C.D.3.已知函数,下列说法中正确的有()A.在点处有公切线B.存在的某条切线与的某条切线平行C.有且只有一个交点D.有且只有两个交点4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,为线段的中点.下列说法中正确的有()A.以线段为直径的圆与直线一定相离B.的最小值为C.的最小值为D.以线段为直径的圆与轴一定相切5.已知是椭
2、圆的左、右焦点,是椭圆上一点.下列说法中正确的有()A.时,满足的点有两个B.时,满足的点有四个C.的周长小于D.的面积小于等于6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛,有两人获奖.比赛结果揭晓之前,四个人作了如下猜测:甲:两名获奖者在乙、丙、丁中;乙:我没有获奖,丙获奖了;丙:甲、丁中有且只有一个获奖;丁:乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的,那么两个获奖者是()A.甲B.乙C.丙D.丁7.已知为圆的一条弦(非直径),于,为圆上任意一点,直线与直线相交于点,直线与直线相交于点.以下说法正确的有()A.
3、四点共圆B.四点共圆C.四点共圆D.以上三个说法均不对8.是为锐角三角形的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知为正整数,且,那么方程的解的组数为()A.B.C.D.10.集合,任取这三个式子中至少有一个成立,则的最大值为()A.B.C.D.11.已知,则下列各式中成立的有()A.B.C.D.12.已知实数满足,则的最大值与最小值的乘积属于区间()A.B.C.D.13.已知,则下列结论正确的有()A.的最大值为B.的最大值为C.的最大值为D.的最小值为14.数
4、列满足,对任意正整数,以下说法中正确的有()A.为定值B.或C.为完全平方数D.为完全平方数15.若复数满足,则可以取到的值有()A.B.C.D.16.从正2016边形的顶点中任取若干个,顺次相连构成多边形,若为正多边形的个数为()A.B.C.D.17.已知椭圆与直线,过椭圆上一点作的平行线,分别交于两点.若为定值,则()A.B.C.D.18.关于的不定方程的正整数解的组数为()A.B.C.D.19.因为实数的乘法满足交换律与结合律,所以若干个实数相乘的时候,可以有不同的次序.例如,三个实数相乘的时候,可以有
5、等等不同的次序.记个实数相乘时不同的次序有种,则()A.B.C.D.20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛,规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛,两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示:表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率,例如甲击败乙的概率是0.3,乙击败丁的概率是0.4.那么甲获冠军的概率是..21.在正三棱锥中,的边长为1.设点到平面的距离为,异面直线的距离为.则.22.如图,正方体的棱长为1,中心为,则四面体的体积为.23...24.实数满足,则的最大值为.25.均为非负实数,满
6、足,则的最大值与最小值分别为.26.若为内一点,满足,设,则.27.已知复数,则.28.已知为非零复数,的实部与虚部均为不小于1的正数,则在复平面中,所对应的向量的端点运动所形成的图形的面积为.29.若,则..30.将16个数:4个1,4个2,4个3,4个4填入一个的数表中,要求每行、每列都恰好有两个偶数,共有种填法.31.设是集合的子集,从中任取3个元素,由小到大排列之后都不能构成等差数列,则中元素个数的最大值为.2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题解答1.已知函数有最小值,则函数的零点个数为()A
7、.B.C.D.取决于的值答案:注意,答案C.2.已知的三个内角所对的边分别为.下列条件中,能使得的形状唯一确定的有()A.B.C.D.答案:对于选项A,由于,于是有唯一取值2,符合题意;对于选项B,由正弦定理,有,可得,无解;对于选项C,条件即,于是,不符合题意;对于选项,由正弦定理,有,又,于是,符合题意.答案:AD.3.已知函数,下列说法中正确的有()A.在点处有公切线B.存在的某条切线与的某条切线平行C.有且只有一个交点D.有且只有两个交点答案:注意到为函数在处的切线,如图,因此答案BD.4.过抛物线的
8、焦点作直线交抛物线于两点,为线段的中点.下列说法中正确的有()A.以线段为直径的圆与直线一定相离B.的最小值为C.的最小值为D.以线段为直径的圆与轴一定相切答案:对于选项A,点到准线的距离为,于是以线段为直径的圆与直线一定相切,进而与直线一定相离;对于选项B,C,设,则,于是,最小值为4.也可将转化为中点到准线的距离的2倍去得到最小值;对于选项D,显然中点的横坐标与不一定相等,因此命题错误.答案:A
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