2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及解答1.doc

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1、2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题1.已知函数有最小值，则函数的零点个数为（）A.B.C.D.取决于的值2.已知的三个内角所对的边分别为.下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（）A.B.C.D.3.已知函数，下列说法中正确的有（）A.在点处有公切线B.存在的某条切线与的某条切线平行C.有且只有一个交点D.有且只有两个交点4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点.下列说法中正确的有（）A.以线段为直径的圆与直线一定相离B.的最小值为C.的最小值为D.以线段为直径的圆与轴一定相切5.已知是椭

2、圆的左、右焦点，是椭圆上一点.下列说法中正确的有（）A.时，满足的点有两个B.时，满足的点有四个C.的周长小于D.的面积小于等于6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（）A.甲B.乙C.丙D.丁7.已知为圆的一条弦（非直径），于，为圆上任意一点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点.以下说法正确的有（）A.

3、四点共圆B.四点共圆C.四点共圆D.以上三个说法均不对8.是为锐角三角形的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知为正整数，且，那么方程的解的组数为（）A.B.C.D.10.集合，任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为（）A.B.C.D.11.已知，则下列各式中成立的有（）A.B.C.D.12.已知实数满足，则的最大值与最小值的乘积属于区间（）A.B.C.D.13.已知，则下列结论正确的有（）A.的最大值为B.的最大值为C.的最大值为D.的最小值为14.数

4、列满足，对任意正整数，以下说法中正确的有（）A.为定值B.或C.为完全平方数D.为完全平方数15.若复数满足，则可以取到的值有（）A.B.C.D.16.从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若为正多边形的个数为（）A.B.C.D.17.已知椭圆与直线，过椭圆上一点作的平行线，分别交于两点.若为定值，则（）A.B.C.D.18.关于的不定方程的正整数解的组数为（）A.B.C.D.19.因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序.例如，三个实数相乘的时候，可以有

5、等等不同的次序.记个实数相乘时不同的次序有种，则（）A.B.C.D.20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4.那么甲获冠军的概率是..21.在正三棱锥中，的边长为1.设点到平面的距离为，异面直线的距离为.则.22.如图，正方体的棱长为1，中心为，则四面体的体积为.23...24.实数满足，则的最大值为.25.均为非负实数，满

6、足，则的最大值与最小值分别为.26.若为内一点，满足，设，则.27.已知复数，则.28.已知为非零复数，的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，所对应的向量的端点运动所形成的图形的面积为.29.若，则..30.将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有种填法.31.设是集合的子集，从中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则中元素个数的最大值为.2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题解答1.已知函数有最小值，则函数的零点个数为（）A

7、.B.C.D.取决于的值答案：注意，答案C.2.已知的三个内角所对的边分别为.下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（）A.B.C.D.答案：对于选项A，由于，于是有唯一取值2，符合题意；对于选项B，由正弦定理，有，可得，无解；对于选项C，条件即，于是，不符合题意；对于选项，由正弦定理，有，又，于是，符合题意.答案：AD.3.已知函数，下列说法中正确的有（）A.在点处有公切线B.存在的某条切线与的某条切线平行C.有且只有一个交点D.有且只有两个交点答案：注意到为函数在处的切线，如图，因此答案BD.4.过抛物线的

8、焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点.下列说法中正确的有（）A.以线段为直径的圆与直线一定相离B.的最小值为C.的最小值为D.以线段为直径的圆与轴一定相切答案：对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离；对于选项B,C，设，则，于是，最小值为4.也可将转化为中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.答案：A