2015年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及答案.doc

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1、2015年清华大学自主招生暨领军计划数学试题说明：本试卷共30小题，共100分．在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的．全部选对的，得满分；选对但不全的，得部分分；有选错的，得0分．1、设复数，则=（    ）A．0B．1C．1/2D．3/22、设{an}为等差数列，p,q,k,l为正整数，则“p+q>k+l”是“ap+aq>ak+al”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3、设A,B是抛物线y=x2上的两点，O是坐标原点．若OA⊥OB，则（  

2、  ）A．

3、OA

4、⋅

5、OB

6、⩾2B．

7、OA

8、+

9、OB

10、⩾2C．直线AB过抛物线y=x2的焦点D．O到直线AB的距离小于等于14、设函数f(x)的定义域为(−1,1)，且满足：① f(x)>0，x∈(−1,0)；② ，x,y∈(−1,1)，则f(x)为（    ）A．奇函数B．偶函数C．减函数D．有界函数5、如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f(x)−kx有（    ）A．2个极大值点B．3个极大值点C．2个极小值点D．3个极小值点6、△ABC的三边分别为a,b,c．若c=2，∠C=，且

11、sinC+sin(B−A)−2sin2A=0，则（    ）A．b=2aB．△ABC的周长为C．△ABC的面积为D．△ABC的外接圆半径为7、设函数，则（    ）A．f(x)有极小值，但无最小值B．f(x)有极大值，但无最大值C．若方程f(x)=b恰有一个实根，则D．若方程f(x)=b恰有三个不同实根，则8、已知，，已知A∩B={(x1,y1),(x2,y2)}，则（    ）A．B．C．，D．9、已知非负实数x,y,z满足，则的最小值为（    ）A．1B．2C．3D．410、设数列{an}的前n项和为Sn，若对任

12、意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则（    ）A．{an}可能为等差数列B．{an}可能为等比数列C．{an}的任意一项均可写成{an}的两项之差D．对任意正整数n，总存在正整数m，使得an=Sm11、运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（    ）A．甲B．乙C．

13、丙D．丁12、长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，则A到平面A1BD的距离为（    ）A．B．C．D．13、设不等式组所表示的区域为D，其面积为S，则（    ）A．若S=4，则k的值唯一B．若S=1/2，则k的值有2个C．若D为三角形，则0414、△ABC的三边长是2,3,4，其外心为O，则（    ）A．0B．−15C．−21/2D．−29/215、设随机事件A与B互相独立，且P(B)=0.5，P(A−B)=0.2，则（    ）A．P(A)=0.4

14、B．P(B−A)=0.3C．P(AB)=0.2D．P(A+B)=0.916、过△ABC的重心作直线将△ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的（    ）A．最小值为3/4B．最小值为4/5C．最大值为4/3D．最大值为5/417、从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（    ）A．105种B．225种C．315种D．420种18、已知存在实数r，使得圆周x2+y2=r2上恰好有n个整点，则n可以等于（    ）A．4B．6C．8D．1219、设复数z满足2

15、z

16、⩽

17、z−1

18、，则（    ）A．

19、

20、z

21、的最大值为1B．

22、z

23、的最小值为1/3C．z的虚部的最大值为2/3D．z的实部的最大值为1/320、设m,n是大于零的实数，向量a=(mcosα,msinα)，b=(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)．定义向量，，记θ=α−β，则（    ）A．B．⁡C．D．21、设数列{an}满足：，，则（    ）A．∀n∈N*，an<(n+1)3B．∀n∈N*，an≠2015C．∃n∈N*，an为完全平方数D．∃n∈N*，an为完全立方数22、在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（    ）A．B．C．

24、D．23、设函数，则（    ）A．f(x)⩽4/3B．

25、f(x)

26、⩽5

27、x

28、C．曲线y=f(x)存在对称轴D．曲线y=f(x)存在对称中心24、△ABC的三边分别为a,b,c，若△ABC为锐角三角形，则（    ）A．sinA>cosBB．tanA>cotBC．a2+b2>c2D．a3+b3>c325、设函数f(x)的定义域是(