2016年清华大学自主招生暨领军计划试题

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1、2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1.已知函数有最小值，则函数的零点个数为（）A.B.C.D.取决于的值答案：注意，答案C.2.已知的三个内角所对的边为.下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（）A.B.C.D.答案：对于选项A，由于，于是有唯一取值2，符合题意；对于选项B，由正弦定理，有，可得，无解；对于选项C，条件即，于是，不符合题意；对于选项，由正弦定理，有，又，于是，符合题意.答案：AD.3.已知函数，下列说法中正确的有（）A.在点处有公切线B.存在的某条切线与的某条切线平行C.有且只有一个交点D.有且只有两个交点答案：注意到为

2、函数在处的切线，如图，因此答案BD.4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点.10下列说法中正确的有（）A.以线段为直径的圆与直线一定相离B.的最小值为C.的最小值为D.以线段为直径的圆与轴一定相切答案：对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离；对于选项B,C，设，则，于是，最小值为4.也可将转化为中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.答案：AB.5.已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点.下列说法中正确的有（）A.时，满足的点有两个

3、B.时，满足的点有四个C.的周长小于D.的面积小于等于答案：对于选项A,B，椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点；对于选项C，的周长为；对于选项D，的面积为.答案：ABCD.6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；10乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（）A.甲B.乙C.丙D.丁答案：乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD.7.已知为圆的一条弦（非直径），于，为圆上

4、任意一点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点.以下说法正确的有（）A.四点共圆B.四点共圆C.四点共圆D.以上三个说法均不对答案：7.对于选项A，即得；对于选项B，若命题成立，则为直径，必然有为直角，不符合题意；对于选项C，即得.答案：AC.8.是为锐角三角形的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：必要性：由于,类似地，有，于是.不充分性：当时，不等式成立，但不是锐角三角形.答案：B.9.已知为正整数，且，那么方程的解的组数为（）A.B.C.D.答案：由于，故.若，则，可得；若，则，可得；

5、10若，则，进而解得；若，则，可得.答案：B.10.集合，任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为（）A.B.C.D.答案：不妨假设，若集合中的正数的个数大于等于4，由于和均大于，于是有，从而，矛盾！所以集合中至多有3个正数.同理可知集合中最多有3个负数.取，满足题意，所以的最大值为7.答案B.11.已知，则下列各式中成立的有（）A.B.C.D.答案：令，则，所以，以上三式相加，即有.类似地，有，以上三式相加，即有.答案BD.12.已知实数满足，则10的最大值也最小值乘积属于区间（）A.B.C.D.答案：设函数，则其导函数，作出的图象，

6、函数的图象在处的切线，以及函数的图象过点和的割线，如图，于是可得，左侧等号当或时取得；右侧等号当时取得.因此原式的最大值为，当时取得；最小值为，当时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为.答案B.13.已知，则下列结论正确的有（）A.的最大值为B.的最大值为C.的最大值为D.的最小值为答案：由可得.设，则是关于的方程的三个根.令，则利用导数可得，所以，等号显然可以取到.故选项A,B都对.因为，所以，等号显然可以取到，故选项C错误.答案ABD.14.数列满足，对任意正整数，以下说法中正确的有（）A.为定值B.或C.为完全平方数D.为完全平方数

7、10答案：因为.所以A选项正确；由于，故，又对任意正整数恒成立，所以，故选项C,D正确.计算前几个数可判断选项错误.答案：ACD.说明：若数列满足，则为定值.15.若复数满足，则可以取到的值有（）A.B.C.D.答案：因为，故，等号分别当和时取得.答案CD.16.从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（）A.B.C.D.答案：从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出个构成正多边形，这样的正多边形有个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去20

8、16和1008.考虑到，因此所求正多边形的个数为.答案C.17.已知椭圆与直线，过椭圆上一点作的平行线，分别交于两点.若为定值，则（）A.B.C.D.10答案：设点，可得，故意为