2015年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及答案

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1、www.hfjy.com2015年清华大学自主招生暨领军计划数学试题说明：本试卷共30小题，共100分．在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的．全部选对的，得满分；选对但不全的，得部分分；有选错的，得0分．22111、设复数zicossin，则=（）23311zzA．0B．1C．1/2D．3/22、设{an}为等差数列，p,q,k,l为正整数，则“p+q>k+l”是“ap+aq>ak+al”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也

2、不必要条件3、设A,B是抛物线y=x2上的两点，O是坐标原点．若OA⊥OB，则（）A．

3、OA

4、⋅

5、OB

6、⩾2B．

7、OA

8、+

9、OB

10、⩾22C．直线AB过抛物线y=x2的焦点D．O到直线AB的距离小于等于14、设函数f(x)的定义域为(−1,1)，且满足：①f(x)>0，x∈(−1,0)；xy②fx()fy()f()，x,y∈(−1,1)，1xy则f(x)为（）A．奇函数B．偶函数C．减函数D．有界函数5、如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f(x)−kx有（

11、）A．2个极大值点B．3个极大值点C．2个极小值点D．3个极小值点1www.hfjy.com6、△ABC的三边分别为a,b,c．若c=2，∠C=，且sinC+sin(B−A)−2sin2A=0，则（）3A．b=2aB．△ABC的周长为2+2323C．△ABC的面积为323D．△ABC的外接圆半径为32x7、设函数fx()(x3)e，则（）A．f(x)有极小值，但无最小值B．f(x)有极大值，但无最大值6C．若方程f(x)=b恰有一个实根，则b3e6D．若方程f(x)=b恰有三个不同实根，

12、则0b3e2222228、已知A{(,)xyxyr}，B{(,)(xyxa)(yb)r}，已知A∩B={(x1,y1),(x2,y2)}，则（）222A．02abrB．ax(x)by(y)01212C．xx+a，yy+b121222D．ab=2ax2by112229、已知非负实数x,y,z满足4x4yz2z3，则5x4y3z的最小值为（）A．12www.hfjy.comB．2C．3D．410、设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意正整数n，

13、总存在正整数m，使得Sn=am，则（）A．{an}可能为等差数列B．{an}可能为等比数列C．{an}的任意一项均可写成{an}的两项之差D．对任意正整数n，总存在正整数m，使得an=Sm11、运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）A．甲B．乙C．丙D

14、．丁12、长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，则A到平面A1BD的距离为（）1A．32B．32C．26D．3xy213、设不等式组所表示的区域为D，其面积为S，则（）y2kx(1)A．若S=4，则k的值唯一B．若S=1/2，则k的值有2个C．若D为三角形，则0414、△ABC的三边长是2,3,4，其外心为O，则OAABOBBCOCCA（）A．0B．−15C．−21/2D．−29/23www

15、.hfjy.com15、设随机事件A与B互相独立，且P(B)=0.5，P(A−B)=0.2，则（）A．P(A)=0.4B．P(B−A)=0.3C．P(AB)=0.2D．P(A+B)=0.916、过△ABC的重心作直线将△ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的（）A．最小值为3/4B．最小值为4/5C．最大值为4/3D．最大值为5/417、从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（）A．105种B．225种C．315种D．420种18、已知存在实数r，使得圆周x2+y2=r2上

16、恰好有n个整点，则n可以等于（）A．4B．6C．8D．1219、设复数z满足2

17、z

18、⩽

19、z−1

20、，则（）A．

21、z

22、的最大值为1B．

23、z

24、的最小值为1/3C．z的虚部的最大值为2/3D．z的实部的最大值为1/320、设m,n是大于零的实数，向量a=(mcosα,msinα)，b=(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)．定义11向量a2(mcos,msin)，b2(ncos,nsin)，记θ=α−β，则（）222211A．a22a=a11B．a22b=mncos⁡22