2018_2019学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式举例学案.docx

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1、二　用数学归纳法证明不等式举例　1.掌握用数学归纳法证明不等式的常用方法与技巧．　2.理解贝努利不等式．3．能综合运用数学归纳法与数列、三角函数等知识进行不等式的证明．,　　　　　　　　[学生用书P57])1．数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤①证明：当n取第一个值n0时结论成立；②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立．由①②可知命题对从n0开始的所有正整数n都成立．(2)用数学归纳法证明不等式的重点用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是难点所在)，即假设f(k)>g(k)成立，证明f(k＋1)>g(k＋1)

2、成立．2．贝努利不等式(1)定义：如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>1＋nx．(2)贝努利不等式的一般形式①当α是实数，并且满足α>1或α<0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)；②当α是实数，并且满足0<α<1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”，第一步的验证为21＋1≥12＋1＋2.(　　)(2)设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n<1＋nx.(　　)(3)用数学归纳法证明不等式“＋＋＋…＋>”，当n＝1时，不等式左边的

3、项为＋＋.(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√2．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边应(　　)A．增加了一项B．增加了两项＋C．增加了B中两项但减少了一项D．以上各种情况均不对答案：C3．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)时第一步需要证明(　　)A．1<2－B．1＋<2－C．1＋＋<2－D．1＋＋＋<2－答案：C4．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．解析：左边的特点：分母逐项增加1，末项为；由n＝k，末项为到n＝k

4、＋1，末项为＝，所以应增加的项数为2k.答案：2k　用数学归纳法证明有关函数中的不等关系[学生用书P58]　已知f(x)＝.对于n∈N＋，试比较f()与的大小并说明理由．【解】　据题意f(x)＝＝＝1－，所以f()＝1－，又＝1－，所以要比较f()与的大小，只需比较2n与n2的大小即可，当n＝1时，21＝2>12＝1，当n＝2时，22＝4＝22，当n＝3时，23＝8<32＝9，当n＝4时，24＝16＝42，当n＝5时，25＝32>52＝25，当n＝6时，26＝64>62＝36.故猜测当n≥5(n∈N＋)时，2n>n2，下面用数学归纳法加以证明．(1)当n＝5时，命题显然成立．(2)假设n＝k(

5、k≥5，且k∈N＋)时，不等式成立．即2k>k2(k≥5)，则当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k>2·k2＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1＝(k＋1)2＋(k－1)2－2>(k＋1)2，((k－1)2>2)由(1)(2)可知，对一切n≥5，n∈N＋，2n>n2成立．综上所述，当n＝1或n≥5时，f()>；当n＝2或4时，f()＝；当n＝3时，f()<.利用数学归纳法解决比较大小问题的方法利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立．　　已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试

6、比较＋＋＋…＋与1的大小，并说明理由．解：＋＋＋…＋<1.理由如下：因为f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，所以an＋1≥(an＋1)2－1.因为函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[－1，＋∞)上单调递增，所以由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，进而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：an≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n＝1时，a1≥21－1＝1，猜想成立；②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立，即ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，ak＋1≥(ak

7、＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1时，猜想也成立．由①，②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1，即1＋an≥2n.所以≤.所以＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－<1.　用数学归纳法证明数列不等式[学生用书P59]　已知{an}是等差数列，首项a1＝3，前n项和为Sn，令cn＝(－1)nSn(n∈N*)，{cn}的前20项和T20＝330.数列{bn}是公比为q的等比数列，前n项和为W