2018_2019学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式举例练习.docx

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1、二用数学归纳法证明不等式举例,　　　　　　　　[学生用书P60])[A　基础达标]1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立时，起始值n0至少应取(　　)A．7　　B．8C．9D．10解析：选B.1＋＋＋＋＋＋＝，n－1＝6，n＝7，故n0＝8.2．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可推测出的一般结论为(　　)A．f(2n)>(n＞1，n∈N*)B．f(n2)>(n＞1，n∈N*)C．f(2n)>(n＞1，n∈N*)D．以上都不对解析：选C.f(2)＝，f(4)＝f(

2、22)>，f(8)＝f(23)>，f(16)＝f(24)>，f(32)＝f(25)>，…，依此类推可知f(2n)>(n＞1，n∈N*)．3．观察下列不等式：1>，1＋＋>1，1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n(n∈N＋)个不等式为(　　)A．1＋＋＋…＋>B．1＋＋＋…＋>C．1＋＋＋…＋>D．1＋＋＋…＋>解析：选C.因为1，3，7，15，31，…的通项公式为an＝2n－1，所以不等式左边应是1＋＋＋…＋.因为，1，，2，，…的通项公式为bn＝，所以不等式右边应是.4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f

3、(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是(　　)A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k<5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)42，因此对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．5．对于

4、正整数n，下列说法不正确的是(　　)A．3n≥1＋2nB．0.9n≥1－0.1nC．0.9n<1－0.1nD．0.1n≥1－0.9n解析：选C.结合贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(x>－1，且x≠0，n≥1，n∈N＋)判断．当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，A正确．当x＝－0.1时，(1－0.1)n≥1－0.1n，B正确，C不正确．当x＝－0.9时，(1－0.9)n≥1－0.9n，因此D正确．6．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立之后，证明n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．解析：把n＝k时的不等式中的k换成k＋1，得

5、＋＋…＋＋>－.答案：＋＋…＋＋>－7．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A1A2…An中，类似成立的不等式为________．解析：n＝3时，不等式为＋＋≥，n＝4时，不等式为＋＋＋≥，n＝5时，不等式为＋＋＋＋≥，…猜想＋＋…＋≥.答案：＋＋…＋≥8．若不等式＋＋…＋>对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为________．解析：令f(n)＝＋＋…＋，易知f(n)是单调递增的．所以f(n)的最小值为f(2)＝＋＝.依题意>，所以m<14.因此取m＝13

6、.答案：139．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a－nan＋1.求证：an≥n＋2.证明：①当n＝1时，a1＝3＝1＋2，即an≥n＋2成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即ak≥k＋2.那么当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1>k＋3＝(k＋1)＋2，也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1>(k＋1)＋2.由①②可知an≥n＋2对一切n∈N*都成立．10．设a∈R，f(x)＝是定义在R上的奇函数．(1)求a的值；(2)如果g(n)＝，试比较f(n)与g(n)的大

7、小(n∈N＋)．解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，故a＝1.(2)f(n)－g(n)＝－＝.只要比较2n与2n＋1的大小．当n＝1，2时，2n<2n＋1，f(n)2n＋1，f(n)>g(n)．下面证明，n≥3时，2n>2n＋1，即f(n)>g(n)．①当n＝3时，23>2×3＋1，显然成立，②假设n＝k(k≥3，k∈N＋)时，2k>2k＋1，那么n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k>2(2k＋1)．2(2k＋1)－[2(k＋1)＋1]＝4k＋2－2k－3＝2k－1>0(因为k≥3)，有2k＋1>2(k＋1)

8、＋1.所以当n＝1，2时，f(n)