高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式举例学案含解析

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1、二数学归纳法证明不等式举例1．贝努利不等式如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>1＋nx.2．贝努利不等式的推广当指数n推广到任意实数α时，(1)若0<α<1时，则(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)；(2)若α>1或α<0时，则(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)．3．利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，难点是由n＝k时命题成立推出n＝k＋1时命题成立这一步．为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要与其他方法，如比较法、分析

2、法、综合法、放缩法等结合进行．利用数学归纳法证明不等式　证明：2n＋2>n2，n∈N*.　―→―→　①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边；当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．因此当n＝1,2,3时，不等式成立．②假设当n＝k(k≥3且k∈N*)时，不等式成立．当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－213＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥

3、0，k＋1>0)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.所以2k＋1＋2>(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．根据①②，原不等式对于任何n∈N都成立．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“凑”的手段，一是凑出假设的形式，便于用假设；二是凑出结论的形式，再证明．1．用数学归纳法证明：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．证明：①当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即＋＋…＋>.当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋>＋＋＋－>＋＝.∴当n＝k＋1

4、时，不等式也成立．由①②知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．2．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N*)．证明：①当n＝2时，1＋＝<2－＝，不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋…＋<2－.当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，不等式成立．由①②知原不等式在n≥2，n∈N*时均成立．133．设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N*，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明．解：①当n＝1,2时，Pn＝Qn.②当n≥3时(以下再对x进行分类

5、)．若x∈(0，＋∞)，显然有Pn>Qn.若x＝0，则Pn＝Qn.若x∈(－1,0)，则P3－Q3＝x3<0，所以P3

6、)猜想

7、an＋1－an

8、与×n－1(其中n∈N*)的大小关系，并证明你的猜想．　先根据数列的首项和递推公式求出a2，a3，a4，a5的值，通过计算猜想不等式，再用数学归纳法给出证明．　(1)由已知计算得a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.(2)由(1)得

9、a2－a1

10、＝，

11、a3－a2

12、＝，

13、a4－a3

14、＝，

15、a5－a4

16、＝.而n分别取1,2,3,4时，×n－1分别为，，，，故猜想

17、an＋1－an

18、≤×n－1.13下面用数学归纳法证明以上猜想：①当n＝1时，已证．②假设n＝k时(k≥1，k∈N*)，

19、ak＋1－ak

20、≤×k－1.由a1＝，an＋1＝，

21、得an>0.所以02＋＝，所以

22、ak＋2－ak＋1

23、＝＝≤<×k－1×＝×k.所以当n＝k＋1时，结论成立．由①②知，以上猜想成立．利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察—归纳—猜想—证明．即先通过观察部分项的特点进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．4．若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．解：取

24、n＝1，＋＋＝.令>⇒a<26，而a∈N*，13∴取a＝25.下面用数学归纳法证明：＋＋…＋>.①n＝1时，已证结论正确．②假设n＝k(k∈N*)时，