高中数学第四讲数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式学案新人教选修

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1、二　用数学归纳法证明不等式1．通过教材掌握几个有关正整数n的结论．2．会用数学归纳法证明不等式．1．本节的有关结论(1)n2＜2n(n∈N＋，______)．(2)

2、sinnθ

3、≤________(n∈N＋)．(3)贝努利不等式：如果x是实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有____________．贝努利不等式更一般的形式：当α是实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有____________________，当α是实数，并且满足0＜α＜1时，有______________．(4)如果n

4、(n为正整数)个正数a1，a2，…an的乘积a1a2…an＝1，那么它们的和a1＋a2＋…＋an≥____.【做一做1】用数学归纳法证明C＋C＋…＋C＞(n≥n0且n∈N＋)，则n的最小值为(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．42．用数学归纳法证明不等式使用数学归纳法证明不等式，难点往往出现在由n＝k时命题成立推出n＝k＋1时命题成立这一步．为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要灵活利用问题的其他条件及相关知识．【做一做2】用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1

5、)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1答案：1．(1)n≥5　(2)n

6、sinθ

7、　(3)(1＋x)n＞1＋nx　(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)　(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1)　(4)n【做一做1】　B　当n＝1时，左边＝C＝1，右边＝10＝1,1＞1不成立；当n＝2时，左边＝C＋C＝2＋1＝3，右边＝＝，3＞，成立．当n＝3时，左边＝C＋C＋C＝3＋3＋1＝7，右边＝31＝3,7＞3，成立．【做一做2】

8、　C　当n＝k时，不等式1＋＋＋＋…＋＜k成立；当n＝k＋1时，不等式的左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，比较n＝k和n＝k＋1时的不等式左边，则左边增加了2k＋1－1－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k(项)．1．观察、归纳、猜想、证明的方法剖析：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题，命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜

9、想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n的取值不能太少，否则将得出错误的结论．教材例1中若只观察前3项：a1＝1，b1＝2a1＜b1；a2＝4，b2＝4a2＝b2；a3＝9，b3＝8a3＞b3，从而归纳出n2＞2n(n∈N＋，n≥3)是错误的，前n项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．2．从“n＝k”到“n＝k＋1”的方法与技巧剖析：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到

10、“n＝k＋1”的过渡，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k＋1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需要通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k＋1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．题型一用数学归纳法证明有关函数中的不等关系【例1】已知f(x)

11、＝.对于n∈N＋，试比较f()与的大小并说明理由．分析：先通过n取比较小的值进行归纳猜想，确定证明方向，再用数学归纳法证明．反思：利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向．再用数学归纳法证明结论成立．题型二数学归纳法在解决有关数列问题中的应用【例2】已知数列{an}满足：a1＝，且an＝(n≥2，n∈N＋)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：对一切正整数n，不等式a1a2…an＜2n！恒成立．分析：(1)由题设条件知，可用构造新数列的方法求得a

12、n；(2)可以等价变形，视为证明新的不等式．反思：本题提供了用数学归纳法证明相关问题的一种证明思路，即要证明的不等式不一定非要用数学归纳法去直接证明，我们通过分析法、综合法等方法的分析，可以找到一些证明的关键，“要证明……”，“只需证明……”，转化为证明其他某一个条件，进而说明要证明的不等式是成立的．题型三用数学归纳法证明不等式【例3】设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明．分析：这类问题，一般都是