2018_2019版高中数学第四讲数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式学案新人教A版选修

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1、二　用数学归纳法证明不等式学习目标　1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式.3.体会归纳—猜想—证明的思想方法．知识点　用数学归纳法证明不等式思考1　用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？答案　(1)归纳奠基：验证初始值n＝n0.(2)归纳递推：在假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)成立的前提下，证明n＝k＋1时问题成立．思考2　证明不等式与证明等式有什么不同？答案　证明不等式需注意的是对式子进行“放缩”．梳理　(1)利用数学归纳法证明不等式在运用数学归纳法证明不等式时，由n

2、＝k时命题成立，推导n＝k＋1命题成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．(2)贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，则有(1＋x)n＞1＋nx.(3)贝努利不等式的推广事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数α时，仍有类似不等式成立．①当α是实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)；②当α是实数，并且满足0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1)．类型一　数学归纳法与放缩法结合证明不等式例1　证明：1＋

3、＋＋…＋＜2－(n∈N＋，n≥2)．证明　(1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝2－＝，由于＜，因此命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，命题成立，即1＋＋＋…＋＜2－.11当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＜2－＋＜2－＋＝2－＋＝2－，即当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N＋，n≥2都成立．反思与感悟　在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一．跟踪训练1　用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1)．证明　(1)当n＝2时，左边＝1

4、＋＋，右边＝2，左边＜右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k＞1，k∈N＋)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋

5、S1＝a1＝，所以＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.所以－＝2.故是以2为首项，2为公差的等差数列，且＝2n.(2)证明　①当n＝1时，11S＝＝－，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1)时，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立，则当n＝k＋1时，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－＝－·＜－·＝－.即当n＝k＋1时，不等式成立．由①②可知，对任意n∈N＋不等式都成立．反思与感悟　(1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识，这是解决这类问题的基础．(2)此类题型通常与

6、数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、猜想，归纳出一个式子，然后再用数学归纳法证明．跟踪训练2　设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求证：对一切正整数n，有1＜an＜.证明　(1)当n＝1时，a1＞1，a1＝1＋a＜，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，即1＜ak＜.当n＝k＋1时，由递推公式知，ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1.同时，ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜，故当n＝k＋1时，命题也成立，即1＜ak＋1＜.综合(1)(2)可知，对

7、一切正整数n，有1＜an＜.1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步验证(　　)11A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4答案　C解析　由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．2．用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋＞1(n∈N＋)”时，S1等于(　　)A.B.C.＋D.＋＋答案　D解析　S1＝＋＋＝＋＋.3．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－.假设当n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________．答案　＋＋…＋＋＞－解析　当n＝k＋1时，目

8、标不等式为＋＋…＋＋＞－.4．若不等式＋＋＋…＋＞对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．解　当n＝1时，＋＋＞，即＞，∴a＜26.又a∈N＋，∴正整数a的最大值为25.下面用数学归纳法证明＋＋…＋＞.(1)当n＝1时，不等式显然成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，＋＋…＋＞成立．当