高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式知识导学案新人教选修

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1、二用数学归纳法证明不等式知识梳理1.本节例题中的有关结论（1）n2<2n(n∈N+,___________);(2)

2、sinnθ

3、≤___________

4、sinθ

5、,(n∈N+);(3)贝努利不等式：如果x是实数，且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数，那么有___________；当α是实数，并且满足α>1或者α<0时，有___________；当α是实数并且0<α<1时，有___________.（4）如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an的乘积a1a2…an=1，那么它们的和a1+a2+…+an≥_____.2.用数学归纳法证明不等式在数学归纳法证明不等式时，我们常会用

6、到证明不等式的其他比较重要的一个方法是___________.知识导学本节内容主要是认知如何用数学归纳法证明正整数n的不等式（其中n取无限多个值）.其中例1提供出了一种全新的数学思想方法：观察、归纳、猜想、证明，这是在数学归纳法中经常应用到的综合性数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的.猜想归纳能培养探索问题的能力，因此，应重视对本节内容的学习.前面已学习过证明不等式的一系列方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等.而本节又增了数学归纳法证不等式，而且主要解决的是n是无限的问题，因而难度更大一些，但仔细研究数学归纳法

7、的关键，即由n=k到n=k+1的过渡，也是学习好用数学归纳法证不等式的重中之重的问题了.疑难突破1.观察、归纳、猜想、证明的方法这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了.在观察与归纳时，n的取值不能太少，否则将得出错误的结论.例1中若只观察前3项：a1=1,b

8、1=2a1b3，就此归纳出n2>2n(n∈N+,n≥3)就是错误的，前n项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论.2.从“n=k”到“n=k+1”的方法与技巧在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n=k”到“n=k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n=k”到“n=k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用

9、上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n=k”到“n=k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构.典题精讲【例1】(经典回放)已知函数φ(x)=+1,f(x)=(a+b)x-ax-bx,其中a,b∈N+,a≠1,b≠1,a≠b,且ab=4,(1)求函数φ(x)的反函数g(x);(2)对任意n∈N+，试指出f(n)与g(2n)的大小关系，并证明你的结论.思路分析：欲比较f(n)与g(2n)的大小，需求出f(n)与g(2n)的关于n的表达式，以利于特殊探路——从n=1，2，3，…中寻找、归纳一般性结论，再用数学归纳法证明.解：(1)由y

10、=+1,得=y-1(y≥1),有x+1=(y-1)2,即x=y2-2y,故g(x)=x2-2x(x≥1).(2)∵f(n)=(a+b)n-an-bn，g(2n)=4n-2n+1,当n=1时f(1)=0,g(2)=0，有f(1)=g(2).当n=2时，f(2)=(a+b)2-a2-b2=2ab=8,g(22)=42-23=8,f(2)=g(22).当n=3时，f(3)=(a+b)3-a3-b3=3a2b+3ab2=3ab(a+b)>3ab×=48.g(23)=43-24=48,有f(3)>g(23).当n=4时,f(4)=(a+b)4-a4-b4=4a3b+4ab3+6a2b2=4ab(

11、a2+b2)+6a2b2>4ab×2ab+6a2b2=14a2b2=224.g(24)=44-25=224,有f(4)>g(24),由此推测当1≤n≤2时，f(n)=g(2n),当n≥3时，f(n)>g(2n).下面用数学归纳法证明.(1)当n=3时，由上述推测成立；（2）假设n=k时，推测成立.即f(k)>g(2k)(k≥3),即（a+b）k-ak-bk>4k-2k+1,那么f(k+1)=(a+b)k+1-ak+1-bk+1=(a+b)·(a