高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式自主训练新人教选修

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1、4.2用数学归纳法证明不等式自主广场我夯基我达标1.用数学归纳法证明“≥,(n∈N+)”时，由n=k到n=k+1时，不等式左边应添加的项是（）A.B.C.D.思路解析：当n=k时，不等式为≥，当n=k+1时，左边==,比较n=k与n=k+1的左边，知应添加的项是.答案：C2.用数学归纳法证明1+++…+1)时，第一步即证下述哪个不等式成立（）A.1<2B.1+<2C.1++<2D.1+<2思路解析：n=2时，左边=1++，右边=2.所以应证1++<2.答案：C3.用数学归纳法证明“1++

2、+…+1)”时，由n=k（k>1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1思路解析：增加的项数为（2k+1-1）-(2k-1)=2k+1-2k=2k.答案：C4.关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是（）A.n∈N+B.n≥4C.n>4D.n=1或n>4思路解析：验证n=1,2,3,4,5,6等值.答案：D5.对于不等式≤n+1(n∈N+),某学生的证明过程如下：（1）当n=1时，≤1+1，不等式成立.(2)假设n=k(k∈N+

3、)时，不等式成立，即

4、n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案：n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)27.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式（1+）（1+）…（1+）>成立.证明：(1)当n=2时，左边=1+=,右边=,左边>右边.∴不等式成立.(2)假设n=k时，不等式成立，即（1+）(1+)…(1+)>,那么当n=k+1时，（1+）(1+)…(1+)［1+］>=.∴n=k+1时，不等式也成立.由（1）（2）知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立.8.设数列{an}满足a1=2,an

5、+1=an+(n=1,2,3,…)求证：an>对一切正整数n成立.证法一：当n=1时，a1=2>,不等式成立,假设n=k时，ak>成立.当n=k+1时,ak+12=ak2++2>2k+3+>2(k+1)+1.∴n=k+1时，ak+1>成立.综上（1）（2）可知，an>对一切正整数成立.证法二：当n=1时，a1=2>=,结论成立.假设n=k时结论成立，即ak>.当n=k+1时，由函数f(x)=x+(x>1)的单调性和归纳假设有ak+1=ak+>+.因此只需证+≥,而这等价于()+()2≥≥0显然成立.所以当n=

6、k+1时，结论成立.因此，an>对一切正整数n均成立.9.（经典回放）已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145(n∈N+)(1)求数列{bn}的通项.（2）设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a>0且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.解：(1)设数列{bn}的公差为d,由题意，得10×1+×d=145,∴d=3,bn=3n-2.(2)由bn=3n-2知,Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(

7、1+)=loga［(1+1)(1+)…(1+)］,logabn+1=loga.因此要比较Sn与logabn+1的大小，可先比较（1+1）(1+)…(1+)与的大小.取n=1,有(1+1)>,取n≥2，有(1+1)(1+)…(1+)>.下面用数学归纳法证明之：①当n=1时，已验证不等式成立.②假设当n=k(k∈N+)时，不等式成立，即(1+1)(1+)…(1+)>,则当n=k+1时,(1+1)(1+)…(1+)［1+］>(1+)=·(3k+2).∵［(3k+2)］3-()3=>0.∴+1·(3k+2)>=.因此

8、(1+1)(1+)…(1+)［1+］>.这说明，当n=k+1时，不等式也成立.由①②知，对一切n∈N+,不等式(1+1)(1+)…(1+)>都成立.再由对数的性质，可得：当a>1时，Sn>logabn+1;当0