二用数学归纳法证明不等式

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1、巧用数学归纳法证明不等式数学归纳法是解决与正整数有关的命题的数学方法，它是通过有限个步骤的推理，证明n取无限个正整数的情形。第一步是证明n取第一个值n0时命题成立，这步是“归纳奠基”，没有这一就失去了命题递推的基础，如：有位同学这样用数学归纳法证明2+4+6+…+2n=n2+n+1(n∈N*)证明：假设当n=k时，等式2+4+6+…+2k=k2+k+1成立，当n=k+1时，2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k2+2k+1)+(k+1)+1，所以n=k+1时命题也成立，所以对于n∈N*命

2、题都成立。这个等式是不成立的，证明过程中没有验证n=1是命题的正确性，因此忽略了递推的基础导致出错。第二步是在假设n=k(k≥n0)成立的基础上，证明n=k+1时命题也成立，这步是“归纳递推”，没有这一步就失去了递推的依据，如：有位同学在研究数学{(n2-5n+5)2}时，发现n=1,2,3,4时，都有an=1，由此，他得出an=1(n∈N*)。其实a5=25，这个命题也是不成立的，证明过程是不完全归纳，没有证明第二步，命题的正确性无法传递下去。可见，数学归纳法中的两个步骤缺一不可。利用数学归纳法不仅可以证明与正整数

3、有关的等式问题，整除问题，平面几何问题，还可以解决不等式的证明问题。例1等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b=2时，记bn=2(log2an+1)(n∈N*)证明：对任意n∈N*，不等式…成立分析：（2）要证的不等式为…，第一步容易验证，第二步证明证明n=k+1时命题也成立时，需要用到假设n＝k时的命题，如果只是从左边向右边推导，需要放缩技巧，不容易证明，如果利用分析法寻找不等式成立的充分条件，

4、问题就迎刃而解了。解：（2）由（１）及ｂ＝２知ａｎ＝２ｎ－１，因此ｂｎ＝２ｎ(n∈N*)所证不等式为…．①当ｎ＝１时，左式＝，右式＝，左式＞右式，所以，ｎ＝１时，命题成立．②假设ｎ＝ｋ（ｋ≥１，ｋ∈Ｎ＊）时结论成立，即…，则当n=k+1时，…，要证n=k+1时结论成立，只需证，法一：即证，由基本不等式得所以成立，所以n=k+1时，结论成立.由①②可知，n∈N*，不等式…成立法二：即证，只需证，即证4k2+12k+9≥4(k2+3k+2)，即证9≥8，显然成立，所以成立，所以n=k+1时，结论成立.由①②可知，n∈N*

5、，不等式…成立例2已知数列{an}中，an≥0,a1=0,a2n+1+an+1-1=a2n.求证：当n∈N*时，an

6、1,则由a2k+1-a2k=(a2k+2+ak+2-1)-(a2k+1+ak+1-1)=(a2k+2-a2k+1)+(ak+2-ak+1)=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1)>0因为ak+2+ak+1+1>0，所以ak+2-ak+1>0，所以ak+2>ak+1即当n=k+1时命题也成立.由①②可知，对于任意n∈N*，都有an

7、据需要灵活运用。