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1、第四节—数学归纳法证明不等式——用数学归纳法证明不等式（第二讲）导学案一、[知识回顾]关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取时命题(即n＝时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题！(结论）要诀:递推基础,归纳假设,结论写明.二、[新知探究]：.探究：用数学归纳法证明不等式.例1证明贝努力（Bernoulli）不等式：如果x是实数，且x>-1，且x¹0，nÎN*，n≥
2、2．求证：(1+x)n>1+nx.例2证明:如果为正整数)个正数的乘积,那么它们的和.三、[巩固训练]：1.证明:2.当时,求证:四、[课后作业与训练]：1、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A.30B.26C.36D.62、.观察下列式子：…则可归纳出_________.3、求证：4、已知，，用数学归纳法证明：5、.求证：用数学归纳法证明．参考答案:1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：1
3、0.验证n取第一个值时命题成立(即n＝时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题都成立！(结论）要诀:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.探究⑴当时,上式左边右边,不等式成立.⑵设当时,不等式成立,即有.那么,当时,=例1证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2∵x¹0，∴1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立（2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即(1+x)k>
4、1+kx当n=k+1时，因为x>-1，所以1+x>0，于是左边=(1+x)k+1右边=1+(k+1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.例2证明:⑴当时,有，命题成立.⑵设当时，命题成立，即若个正数的乘积,那么它们的和.那么当时,已知个正数满足.若个正数都相等,则它们都是1.其和为,命题成立.若这个正数不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数(否则与矛盾).不妨设.课
5、堂练习1证:(1)当n=1时,左边=,右边=,由于故不等式成立.(2)假设n=k()时命题成立,即则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.2（1）课后作业与训练1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k
6、+1－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2)f(k+1)能被36整除∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C2、解析：(n∈N*)(n∈N*)、、、3．证明：（1）当n=2时，右边=，不等式成立．（2）假设当时命题成立，即．则当时， 所以则当时，不等式也成立． 由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．4.证明：（1）当n=2时，，∴命题成立．（2）假设当时命题成立，即．则当时， 所以则当
7、时，不等式也成立． 由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．5、证明：（1）当n=1时，，不等式成立；当n=2时，，不等式成立；当n=3时，，不等式成立．（2）假设当时不等式成立，即．则当时， ，∵，∴，（*）从而，∴．即当时，不等式也成立．由（1），（2）可知，对一切都成立．
